期末复习题1_期末复习题一

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微积分期末复习题

（特别提示：这组练习题不完全是针对期末考试.复习题的内容为涵盖期末考试的所有内容主要目的是帮助大家复习和提高.）

1．柯西列的定义，两种等价叙述方式，数列和级数的柯西收敛原则．

2．若级数111111收敛，则正数p的范围是 1212(2n1)(2n)

解：p

13．求证limcosnk3nπ存在． n

limln[1(1cos)]．级数ln[1(1cos)]收敛． nnk322k3k

314.判别收敛性：[lnsinlnn]． nn1解：取对数lim解：lnsinxlnlncosnnn1sinx11lnln(1x2)x2o(x2)xx66

sin1

1ln(11)1o(1)．由比阶判别法推出级数收敛． lnsinlnnln1n6n26n2n

2n

(xa)n

5．设幂级数在点x2收敛,则实数a的取值范围是[1a3] nn1

6．判别

n0nn1sinπxsinxx是否收敛，并且由此研究无穷积分0dx的收敛性． xx

[A]sinxxAsinxAsinxdx[A]dxdx[A]dx xxxn1x提示：用莱布尼茨判别法证明级数收敛．另一方面，A0，Asinxdx0x[A]sin0

由此证明Alim0Asinxx



n1dx． 7．设(0,1)，求证xnlnx．在(0,1]一致收敛．求和函数S(x)，指出S(x)在[0,1]连

续(该函数级数在[0,1]处处收敛，但不一致收敛)．

xlnx在(0,1)唯一驻点e解：n1

n于是xlnx在(0,e1．n1

n)单调减少．xnlnx当n充分大时，在(0,1)单调减少．因此max{|xnlnx|:0x1}|(1)nln(1)|．所以 |xlnx|(1)|ln(1)|．比较判别法推出xnlnx．在(0,1]一致收敛．

n1nn

xlnx,0x1

和函数S(x)1x．

0,x1

8．设

n0

anx的收敛半径为2，bnx的收敛半径为3．则(3an2bn)xn的收敛区间为

n0

n0



n



n



提示：可以证明

n0

(anbn)xn的收敛半径不小于２和３的最小值．是否等于２，则要验



证．（答案(2,2)）．

1

9．将2展开为幂级数an(x2)n，并指出函数与幂级数相等的区间．

n0x

n1n

11n1111n11n1n(x2)n(x2)解：()．，2(1)(1)nn2k1x212k0xxx22

1

10．求和(n21).3n0

解：

n0

nxxn2xn1xS1(x)

n1



n





2n



S1(x)(nx)(xnxn1)(xS2(x))

n1

n1

S2(x)（

11x1x

)S(x)(xS(x))()．． 122231x(1x)(1x)(1x)

n0

n2xnxS1(x)

x(1x)

． 3

(1x)

x2,0x1a0

11．f(x)．ancosnx和bnsinnx分别是f(x)的余弦展开和正弦展

2n1n12x,1x

开．S(x)

1

(an

a0

(ancosnxbnsinnx)．求S(0)、S(1)与S()． 2n1

12．n0



x

a



1n

2)p是否收敛？

ln2a2ln2a22x

xo(x)，a1lnaxxo(x2)解：a1lnax22

an

a



1n

ln2a122o()．

nn

13．an0，lim

lnan

．求证q1an收敛．

nlnnn0

1q11

()lnn．解：由极限保号性，当n充分大时，lnnan2an

14．设

1q

．an

n

1qn2

．

f(x)在[0,)满足f(0)0,f(x)0．anf(n)n1f(x)dx．若f(x)

在[0,)有界，求证

k1

n

ak收敛．

n



（提示：0anf(n)n1f(x)dxf(n)f(n)f(n)f(n1)．akf(n)f(1)．）

k1

15．设{an}为数列．Anaka1a2an．如果limAnlimakA0存在，则称无

k1

n

nk1

nn

穷乘积ak收敛．并且称极限A为数列{an}的无穷乘积．

k1



（１）若uk绝对收敛，求证(1uk)收敛．

k1

k1



（２）设uk为正项级数．求证：(1uk)收敛的充分必要条件是uk收敛．

k1

k1



k1

(1)n16．求和． n

n1n(n1)2



xn

解：考察S(x)(1)．当x0时，S(x)0．当x0时

n(n1)n1



n

1xn11n

S(x)(1)S1(x)．

xn1n(n1)x

xn

(x)(1)S1ln(1x)，S1(0)0．于是

nn1



n

(t)dt0ln(1t)dtxln(1xxln(1x))． S1(x)0S1

17．证明函数级数

xx

xe

n1



2nx

在区间[0,)上一致收敛．

18．设limn1，求证

n

收敛． n

n1n



11

提示：设plimn．则当n充分大时，n(1p)q1．与级数q比较．

n2n1n