西安工业大学高数试题及答案_西安工业大学期末试卷

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高等数学（Ⅱ）期末参考答案

一、填空题（每小题3分，共30分）



1.已知a(1,1,2),b(0,1,2)，则ab1

ij11

k

2(0,2,1).22.点(1,1,1)到平面3x6y2z140的距离为 3.3.过点(3,0,1)且与平面3x7y5z120平行的平面方程为

3x7y5z40.4.已知zf(xy,2xe2y)，则

t

zx

yf12f2.5.曲线x

13,y

t

12,z

t

在相应于t1处的法平面方程为

(x)(y)(z)0.10

y0

6.交换积分dxf(x,y)dy的积分次序为

xdy

f(x,y)dy.223

7.设：zxy

(0z1)，则zdS



xy1



xy

2dxdy.8.设向量A(x2yz)i(y2zx)j(z2xy)k，则divA



Px



Qy



Rz



2(xyz).9.设函数f(x)以2为周期，且f(x)x(x)，其Fourier级数为

a02







n1

(ancosnxbnsinnx)，则b2

1





xsin2xdx 1.10.函数f(x)

12x

的麦克劳林级数为

2

(1)2

n

n

x.n

n0

二、（8分）求函数f(x,y)xxyyxy1的极值，并指出是极大值还是极小值.解：fx(x,y)2xy1，fy(x,y)2yx1，2

2fx(x,y)02xy10令 ，得驻点(1,1).由于 , 即 

f(x,y)02yx10y

Afxx(x,y)2，Bfxy(x,y)1，Cfyy(x,y)2，且

(BAC)x112230，A20,y1

则(1,1)为极小值点，极小值为

f(1,1)2.

三、（8分）求级数(n1)xn的收敛域及它的和函数.n0

解：由于 lim|

n

an1an

|lim|

n

nn1



|1，则R1，当x1时，级数(n1)(1)n均

n0

发散，所以收敛域为(1,1).设



s(x)

(n1)x

n0

n，则



于是

x0



s(t)dt

[(n1)tdt]

n0

x



n



n0

x

n1



x1x，

dx1xs(t).s(t)dt20dx(1x)1x

四、（8分）计算(5x43xy

L

y)dx(3xy3xy

322

其中L是抛物线yxy)dy，22

上自点(0,0)到点(1,1)的一段弧.解：P(x,y)5x3xy

y，Q(x,y)3xy3xy

322

y在xoy面偏导数连续，且

Py

Qx

6xy3y，则曲线积分与路径无关，取折线段(0,0)(1,0)(1,1)，则





L

(5x3xy

y)dx(3xy3xy

2y)dy



(5x3x00)dx321

13)

116



222

(31y31yy)dy

1(.(zx)dzdx(xy)dxdy，其中是由

五、（8分）计算曲面积分I

x(yz)dydz



柱面x2y21，平面z0,z3所围立体表面的外侧.解：P(x,y,z)x(yz),Q(x,y,z)zx,R(x,y,z)xy在柱面x2y21，平面z0,z3所围立体上偏导数连续，则由高斯公式有

I

x(yz)dydz



(zx)dzdx(xy)dxdy

Rz







（Px



Qy

)dv

(yz)dv









ydv





zdv（第一个积分为0，想想为什么？）

0

zdzdxdyz1dz

Dz

.六、（8分）求下列方程的通解： 1.xyyln

yx

yx

y

yxlnyx

解：xyyln，方程为齐次微分方程；设udu

dxx

yx，则yuxu，代入得

u(lnu1)

，两端积分

lnu1

d(lnu1)

xdx

即ln(lnu1)lnxlnC 或lnuCx1 将u

yx

代回得yxe

2x

Cx

12.y4y3ye.解：方程为二阶非齐次线性微分方程，对应齐次线性微分方程的特征方程

r4r30的特征根为r11,r23；f(x)e

2x

中2不是特征方程的根，则

特解形式为y*Ae2x，代入得A

yC1e

x

115，在由解的结构得方程的通解为

3x

C2e



115

e

2x

七、（10分）设vn



unun，wn



unun，证明：

1.若级数un绝对收敛，则级数vn收敛；

n1

n1







证：由于un绝对收敛，即|un|收敛，则un也收敛，又vn

n1

n1

n1



|un|

un，由性质知vn收敛.n1



2.若级数un条件收敛，则级数wn发散.n1

n1





证：（反证）假设wn收敛，已知un收敛，由wn

n1

n1





unun

，即|un|2wnun

及性质知|un|收敛，即un绝对收敛，与已知条件矛盾.所以wn发散.n1

n1

n1

八、（10分）一均匀物体是由抛物面zx2y2及平面z1所围成.1.求的体积；

解：在xoy面投影域D:xy1，则所围体积为V

[1(x

D

y)]dxdy



20

d(1r)rdr

2(2.求的质心.12



14)



.解：由于是均匀物体及几何体关于yoz面、xoz面对称，则质心坐标应为(0,0,)； 而







zdv





dv





2

drdr

11r

zdz





V





23，所以质心坐标为(0,0,23).九、（10分）设D(x,y)|x2y2



2,x0,y0,[1xy]表示不超过



1xy的最大整数，计算二重积分xy[1xy]dxdy.22

D

解：设D1{(x,y)|x2y21,x0,y0}，D2{(x,y)|1xy

2,x0,y0},则DD1D2,且当(x,y)D1时，[1x2y2]1，当(x,y)D2时，[1xy]2，所以



D

xy[1xy]dxdy

xy[1xy]dxdy







D1D1



D2

xy[1xy]dxdy

xydxdy



2xydxdy

D2







d



rsincosdr2d



rsincosdr

2

