微积分(下)自我检查试题集_微积分下期末考试试题

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微积分自我检查试题集

第二部分微积分下册

自我检查试题一

一、填空（每小题3分，满分15分）

1． 设f(xy,xy)2x(x2y2)，则f(x,y)________________。

2． 曲面ezzxy30在点（2，1，0）处的切平面方程为______________________。

3． 微分方程yexy满足y(0)1的特解为_________________。

4． 设f(x)是以2为周期的函数，且f(x)x1,x0，则它的傅立叶级数在点12x,0x

x处收敛于________________。

5． 函数f(x)lnx在x1处的泰勒级数为___________________________________。

二、单项选择（每小题3分，满分15分）

x2y22,xy041．设函数f(x,y)xy2，在点（0，0）处为（）。

220,xy0

（A）f(x,y)连续，但偏导数不存在（B）f(x,y)的偏导数存在但不连续

（C）f(x,y)连续且偏导数存在（D）f(x,y)不连续且偏导数不存在2．设u2xyz，则u在点(2,1,1)处的方向导数的最大值为（）。

（A）26（B）4（C）{2,4,2}（D）{2，4，2}

3．曲线积分2L(x3xy2)dx(y3x2yx)dy，其中L是从O（0，0）经A（1，1），B（2，0）到O（0，0）的闭折线，则其值是（）。

（A）2（B）1（C）0（D）1

4．设f(x,y)为连续函数，则I

（A）

（C）e1dxlnx0f(x,y)dy 交换积分次序后为（）。e1e0dy1elnx0ef(x,y)dx（B）ydyf(x,y)dx 1e

0elnx0dyf(x,y)dx（D）dyyf(x,y)dx 1

5．设是平面xyz4被圆柱面x2y21截出的有限部分，则曲面积分（）。

（A）0（B）

ydS的值是



（C）4（D）

3三、计算题（每小题7分，满分42分）

y2z

1． 设zsin(x)，求。

2xy

2． 计算



dyexdx。

y

23． 设D:xyx,y0，求



y

D

x2y2dxdy。

(1)n1

4． 求幂级数(x1)n1的收敛区间及和函数。

n1n1

5． 设是x2y21,z0,z3所围立体的表面，取外侧，求曲面积分

x(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy。



6． 求微分方程yyy满足初始条件y

x0

0,y

x0

2的特解。

ex

四、（9分）设(1)e，且曲线积分[(x)]ydxx(x)dy 在右半平面x0内与积分

xL

路径L无关。

（1）求未知函数(x)；

（2）计算从点（1，0）到（2，1）的曲线积分的值。

五、（11分）在曲面:之积为最大。

六、（8分）判别级数

xyz1 上，求该曲面的切平面，使其在三坐标轴上的截距



n2



(1)nn(1)

n的敛散性。

自我检查试题二

一、填空（每小题3分，满分15分）

1． 函数u(z2y)x 在点M0(1,0,e)处的梯度为____________________。2． 已知方程x2y2z22ez确定zf(x,y)，则dz________________。

3． 一曲线构件L：x2y21上任一点M(x,y)处的线密度(x,y)3，则L的质量为

________________。

(3)n12n4． 幂级数x的收敛半径为________________。

nn1



5． 方程yy1的通解为___________________。

二、单项选择（每小题3分，满分15分）1．lim

x1y1

sin(xy)xy

().(A)0(B)1(C)2(D) 2．

。f(x,y)d=（）

x

2x2y21

（A）4dx

0

dy

0x2

f(x,y)dy（B）dxf(x,y)dy

1

1

（C）



1

1x2

f(x,y)dx（D）dy



1y2

1y2

f(x,y)dx

3．设f(x)

x1,2x0，且以4为周期，则f(x)的傅立叶级数在x5处（）。

x1,0x2

（A）收敛于3（B）收敛于2（C）收敛于1（D）收敛于0

4．若y1(x),y2(x),y3(x)是二阶非齐次线性方程yp(x)yq(x)yf(x)的三个线性无关的特解，C1,C2为任意常数，则该方程的通解是（）。

（A）C1y1C2y2y3（B）C1(y1y2)C2(y1y3)（B）C1(y1y2)C2(y1y3)y3（D）C1(y1y2)C2(y1y3)y3 5．设k为正常数，则级数



(1)nknn

n

是（）。

（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）敛散性与k有关

三、计算题（每小题7分，满分49分）

yx2z

1． 已知zxf()y()，其中f,有二阶连续导数，求。

xyxy

2． 设f((x,y,z)x2yz3，其中z是由ezxyze1所确定的x，y的函数，求fx(1,1,1)。3． 设D：xy1,yx,x2所围，求

x2

()dxdy。yD

4． 设：x2y21,0z1位于第一卦限的部分，求

xydv。



5． 计算曲线积分



xyx

L

ds，其中L为ylnx上点（1，0）和（e，1）间的弧段。

6． 已知 4x3ydxxf(x)dy 在右半平面内是某个二元函数u(x,y)的全微分，其中f(x)可

导，且f(1)2，求f(x)及u(x,y)。7． 求微分方程yycosxesinx的通解。

四、（8分）求级数

x4n1的和函数，并求其收敛区间。n14n1



xy

五、（9分）设F2xi2yj，试问将质点M从原点沿直线移到直线1上哪一点时，ab

作功最小？并求最小的功。

六、（4分）若级数

a

n1



2n

和

b

n1



2n

都收敛，求证：

(a

n1



n

bn)2收敛。

自我检查试题三

一、填空（每小题3分，满分15分）

1． 周期为2的函数f(x)在一个周期内表达式为f(x)x,1x1，则它的傅立叶级数的和函数在x

处的值是________________。

2x

2． 设f(x,y,z)()z，则df(1,1,1)__________。_______

y

3． 若二重积分

___。3d的积分域D的面积为A，则3A(3A)d__________

D

D

4． 设L为(xx0)2(yy0)2R2，则1ds_____________。



L

5． 微分方程

dyxy

的通解为______________________。2dx1x

二、单项选择（每小题3分，满分15分）

1．微分方程y5y6yxe2x的特解形式是（）。

（A）ae2x(bxc)（B）(axb)e2x（C）x(axb)e（D）x(axb)e 2．设f(x,y)(xy)

xy

32x

2x，则下列结果中错误的是（）。

（A）fx(0,1)3（B）fy(1,0)3

（C）f(1,1)32（D）fy(1,1)16(2ln2)3．设f(x,y)是连续函数，则（A）（C）



a

。dxf(x,y)dy（）

x

dy

ay

f(x,y)dx（B）dyf(x,y)dx

y

aa

dy

ay

a

f(x,ydx（D）dyf(x,y)dx

aa

4．设简单闭曲线L所围区域的面积为S，则S =（）。

xdxydyydyxdx（B）2L2L11

（C）ydxxdy（D）xdyydx

2L2L

（A）

5．设常数k0，则级数

(1)n

n1



kn

（）。2

n

（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛或发散与k的取值有关

三、计算题（每小题8分，满分48分）1． 设

zzxz

ln，求和。

xyzy

2． 求函数Ux2y2z2在曲线xt,yt2,zt3上点（1，1，1）处，沿曲线在该点处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。3． 计算二重积分4． 计算

y22xedxdy，其中D是曲线和在第一象限所围区域。y4xy9xD

xdydzydzdxzdxdy,



为球面x2y2z2a2的外侧。

x2n

5． 求幂级数的和函数(x)。

(2n)!n0

6． 求微分方程y2ye2x0满足条件y(0)1,y(0)1的解。

四、应用题（每小题9分，满分18分）

1． 某演出团欲印刷节目海报5000份，印刷版面大小是96(cm)2，上下各留1cm的空白，左

右各留1.5cm的空白，试问印刷版面长宽各多大，才能耗费最少量的纸张？

2． 一桶内有100m的水，现以浓度为2kg/m的盐溶液用3m/min的速率注入桶内，同时，被搅拌均匀的混合溶液以同样的速率流出。（1）求任一时刻t桶内盐的含量Q；（2）何时桶内存盐100kg？

五、证明题（4分）xdxydy

在整个xOy平面除去y的负半轴及原点的开区域G内是某个二元函数的全微22

xy

分，并求出一个这样的二元函数。

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