单级倒立摆[优秀]_单级倒立摆系统

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单倒置摆控制系统的状态空间设计

摘要：倒置摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒置摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题，倒置摆的最初研究开始于二十世纪50年代，近年来，由于新的控制方法不断出现，人们试图通过倒置摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从加大了对这方面的研究。本文主要采用状态反馈的控制方法，通过设计降维观测器和全维观测器对状态变量的重构，Matlab仿真进行了研究。关键词： 状态反馈、能控性、能观性、状态观测、极点配置、仿真

一、引言

倒置摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

倒置摆的最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据 火箭发射助推器原理设计出一级倒置摆实验设备。倒置摆系统稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量、控制好坏一目了然。

近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒置摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。由于单级倒置摆的控制方法在军工,航天和机器人领域有广泛的用途,另外其控制方法和思路在处理一般工业过程中亦有广泛的应用。机器人行走类似倒置摆系统，而机器人的关键技术至今仍未很好解决，单级倒置摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服平台的稳定有很大相似性，也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象。因此，单级倒置摆机理的研究具有重要的应用价值，成为控制理论中很重要的研究课题。

二、单级倒置摆系统建模及分析 2.1单级倒置摆系统模型

单倒置摆系统的原理图，如图1所示。设摆的长度为L、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。小车由一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u相对参考系产生位移z。若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此它是一个不稳定系统。控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。

图1 单倒置摆系统的原理图

图2 单倒置摆系统的受力分析

为简化问题，工程上往往忽略一些次要因素。这里，忽略摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。

2.2 倒置摆系统的控制方法

自从倒置摆产生以后，国内外的专家学者就不断对它进行研究，其研究主要集中在下面两个方面：

（1）倒置摆系统的稳定控制的研究

（2）倒置摆系统的自起摆控制研究

而就这两方面而言，从目前的研究情况来看，大部分研究成果又

由于本文所采用的倒置摆系统模型为单级倒置摆系统模型，所以通过对上述各种控制方法之间，优缺点的比较，最终本文采状态反馈控制的方法。

2.3、模型分析

设小车瞬时位置为z，倒置摆出现的偏角为θ，则摆心瞬时位置为(z+lsinθ)。在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u平衡，则有

d2zd2M2m2(zlsinθ)udtdt

即(M2m)zmlθcosθ-mlθsinθu（1）

由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有

d2[m2(zlsinθ)]lcosθmglsinθdt

即

2zcoslcoslsincosgsin（2）2式(1)、式(2)两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u的条件下，可认为、均接近零，此时sin≈，cos≈1，且可忽略项，于是

（8）

（9）

2.4 被控对象特性分析(1)、能控性分析

根据能控性的秩判据，利用MATLAB来求解矩阵的秩 其程序编写如下：

A=[0 1 0 0;0 0-1 0;0 0 0 1;0 0 11 0];B=[0;1;0;-1];M=ctrb(A,B);R=rank(M);If(R

因此，单倒置摆的运动状态是可控的。这意味着总存在一控制作用u，将非零状态x转移到零状态。

(2)、能观性分析：

根据能观性的秩判据，并把上面相关式子的有关数值带入该判据，可得系统能观性矩阵的秩是4；也可在MATLAB中运行如下程序，判别倒置摆系统的能观性

A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];B=[0;1;0;-1];C=[1,0,0,0;0,0,1,0];

四、控制方案及仿真

方案

一、用降维状态观测器实现状态反馈

由于本系统中的小车位移z，可有输出传感器直接测量，因而实际中无需估计，可以设计将维（三维）状态的观测器。通过重新排列被控系统状态变量的次序，把需由降维状态观测器估计变量与输出传感器测得的状态变量分开，也就是说，将z作为第四个状态变量，则按照被控系统的状态和输出方程可变换为：

01zd00 011dtz10010010z00u 010z0(10)

z y0001

0(11)简记为：

1A11x 2A21xA12x1b1 uA22x2b2(12)式中

x1 yy0I1x2(13)

z x1010A110010110,A12，000,1b01

(14)

011

（b)角速度

（c)速度

由仿真图可以看出，在给系统状态全反馈加上降维观测器后，单位阶跃的作用下，小车的位移z逐渐趋于一个常数，是稳定的系统，而单倒置摆出现的偏角0也逐渐趋于0，即摆杆保持平衡竖直向上不倒，小车最终达到指定位置1，达到了系统稳定要求。

方案

二、全维状态观测器设计

为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，即z、z、、的信息。因此需要设置测量z、z、、的4个传感器。正如第五章第四节所指出的，往往在一实际工程系统中并不是所有的状态信息都能检测到，或者，虽有些可以检测，但也可能由于检测装置昂贵或安装上的困难造成实际上难于获取信号，从而状态反馈在实际中难于实现，甚至不可能实现。在这种情况下可设计全维观测器，解决全状态反馈实现问题。

状态观测器设计钱，先要对被控对象的状态作能观测性的判定。由能观测秩判据，并把式（9）的有关数值代入该判据，得 

TrankNrankc

ATcT(AT)2cT(AT)3cT

4（20）

故被控系统的4个状态均是可观测的。这意味着，其状态可由一全维（四维）状态观测器给出估值。

由第五章全维状态观测器的动态方程为：

 x(AGC)xBuGy



（21）

式中

Gg0g1g2g3T

全维状态观测器以G配置极点，决定状态向量估计误差衰减的速率。

全维状态观测器的特征多项式为

I(AGC)4g03(g111)2(11g0g2)(11g1g3)（22）

设状态观测器的希望闭环极点为-2，-3，-2±j1（比状态反馈系统的希望闭环极点离虚轴较远），则期望特征多项式为

(2)(3)(2j)(2j)4933124930

令式（18）与式（19）同同次项的系数相等，可求得

（23）

g09，g142，g2148，g3492

用全维状态观测器实现状态反馈的结构图如图3所示。由于最靠近虚轴的希望闭环极点为-2，这意味着任一状态变量估值误差至少以e2t规律衰减。

415



用全维观测器实现的过程中，由于最靠近虚轴的希望闭环极点为-2，这意味着任一状态变量估值误差至少以e2t规律衰减。用降维观测器实现的过程中，连续的提供状态向量估值，其估值误差至少以e2t规律衰减。通过带观测器的状态反馈，使系统的性能指标得到满足，可以使处于任意初始状态的系统稳定在平衡状态。即使在初始状态或有干扰的情况下，摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置，依靠状态反馈控制也可以使摆杆垂直竖立，状态反馈系统的主要优点是极点的任意配置, 无论开环极点和零点在什么位置, 都可以任意配置期望的闭环极点，这为我们提供了控制系统的手段。

五、总结：

本文以单倒置摆为研究对象,讨论了将极点配置在期望的区域内的状态反馈控制方法。利用设计降维观测器和全维观测器对其进行了研究，从仿真结果可以看出,该方法可以保证系统具有一定的动态和稳态性能,不仅满足闭环系统的内部动态特性要求,也兼顾了抑制外部扰动对系统的影响。由此可知,极点配置控制方法可以实现摆杆的倒立平衡控制。从本文的研究结果还可看出,单倒置摆系统是研究控制理论的一个比较理想的实验装置。

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