直线一级倒立摆课程设计论文_一级倒立摆的课程设计

直线一级倒立摆课程设计论文由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“一级倒立摆的课程设计”。

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目录

一、倒立摆的介绍....................................................................................................................21、简介..............................................................................................................................2

2、分类..............................................................................................................................2

二、直线一级倒立摆的组成....................................................................................................41、电控箱..............................................................................................................................5

2、交流伺服电机及其工作原理.........................................................................................53、编码器及其工作原理..................................................................................................6

4、控制卡..........................................................................................................................7

三、倒立摆的建模....................................................................................................................7

四、倒立摆系统控制器的设计..............................................................................................111、频率响应分析............................................................................................................11

2、频率响应设计与仿真................................................................................................13

五、设计总结..........................................................................................................................22

六、参考资料..........................................................................................................................23

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一、倒立摆的介绍

1、简介

倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。

2、分类

倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：

直线倒立摆系列

直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。

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环形倒立摆系列

环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件，圆周运动模块有一个自 由度，可以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和串连或并联的方式，可以组成很多形式的倒立摆。

平面倒立摆系列

平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件，平面运动

模块主要有两类：一类是XY运动平台，另一类是两自由度 SCARA 机械臂；摆体组件也有一级、二级、三级和四级很多种。

复合倒立摆系列

复合倒立摆为一类新型倒立摆，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本 体可以很方便的调整成三种模式，一是2)中所述的环形倒立摆，还可以把本体翻转 90 度，连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆。按倒立摆的级数来分：有一级倒立摆、两级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆，一

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级倒立摆常用于控制理论的基础实验，多级倒立摆常用于控制算法的研究，倒立摆的级数越高，其控制难度更大，目前，可以实现的倒立摆控制最高为四级倒立摆。

二、直线一级倒立摆系统的组成直线一级倒立摆是最基础和最简单的倒立摆，也是这次创新实践课程的主要研究对象，它由由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的摆之一，如图1所示：

图1 倒立摆实物图

系统图组成图如下：

图2 一级直线倒立摆系统组成图示

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倒立摆的工作方式为小车由电机通过同步带驱动，在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡，电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车位置和摆杆位置（线位移和角位移）

1、电控箱

电控箱内安装有如下部件： 交流伺服驱动器 I/O接口板 开关电源

开关、指示灯等电气元件

2、交流伺服电机及其工作原理

交流伺服电动机的定子绕组和单相异步电动机相似，它的定子上装有两个在空间相差 90 °电角度的绕组，即励磁绕组和控制绕组。运行时励磁绕组始终加上一定的交流励磁电压，控制绕组上则加大小或相位随信号变化的控制电压。转子的结构形式笼型转子和空心杯型转子两种。笼型转子的结构与一般笼型异步电动机的转子相同，但转子做的细长，转子导体用高电阻率的材料作成。其目的是为了减小转子的转动惯量，增加启动转矩对输入信号的快速反应和克服自转现象。空心杯形转子交流伺服电动机的定子分为外定子和内定子两部分。外定子的结构与笼型交流伺服电动机的定子相同，铁心槽内放有两相绕组。空心杯形转子由导电的非磁性材料（如铝）做成薄壁筒形，放在内、外定子之间。杯子底部固定于转轴上，杯臂薄而轻，厚度一般在 0.2 — 0.8mm，因而转动惯量小，动作快且灵敏。交流伺服电动机的工作原理和单相异步电动机相似，LL 是有固定电压励磁的励磁绕组，L K是有伺服放大器供电的控制绕组，两相绕组在空间相差 90 ° 电角度。如果 IL 与 Ik 的相位差为 90 °，而两相绕组的磁动势幅值又相等，这种状态称为对称状态。与单相异步电动机一样，这时在气隙中产生的合成磁场为一旋转磁场，其转速称为同步转速。旋转磁场与转子导体相对切割，在转子中产生感应电流。转子电流与旋转磁场相互作用产生转矩，使转子旋转。如果改变加在控制绕组上的电流的大小或相位差，就破坏了对称状态，使旋转磁场减弱，电动机的转速下降。电机的工作状态越不对称，总电磁转矩就越小，当除去控制绕组上信号电压以后，电动机立即停止转动。这是交流伺服电动机在运行上与普通异步电动机的区别。

交流伺服电机有以下三种转速控制方式：

（1）幅值控制 控制电流与励磁电流的相位差保持 90 ° 不变，改变控制电压的大小。

（2）相位控制 控制电压与励磁电压的大小，保持额定值不变，改变控制电压的相位。

（3）幅值 — 相位控制 同时改变控制电压幅值和相位。交流伺服电动机转轴的转向随控制电压相位的反相而改变。

下图为交流伺服电动机原理图：

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图3 交流伺服电动机原理图

3、编码器及其工作原理

旋转编码器是一种角位移传感器，它分为光电式、接触式和电磁感应式三种，其中光电式脉冲编码器是闭环控制系统中最常用的位置传感器。

图4 光电编码器原理示意图

旋转编码器有增量编码器和绝对编码器两种，图 2-1 为光电式增量编码器示 意图，它由发光元件、光电码盘、光敏元件和信号处理电路组成。当码盘随工作 轴一起转动时，光源透过光电码盘上的光栏板形成忽明忽暗的光信号，光敏元件 把光信号转换成电信号，然后通过信号处理电路的整形、放大、分频、记数、译 码后输出。为了测量出转向，使光栏板的两个狭缝比码盘两个狭缝距

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离小 1/4 节 距，这样两个光敏元件的输出信号就相差π/2 相位，将输出信号送入鉴向电路，即可判断码盘的旋转方向。

光电式增量编码器的测量精度取决于它所能分辨的最小角度α(分辨角、分 辨率)，而这与码盘圆周内所分狭缝的线数有关。

3600 a=

n其中 n——编码器线数。由于光电式脉冲编码盘每转过一个分辨角就发出一个脉冲信号，因此，根据脉冲数目可得出工作轴的回转角度，由传动比换算出直线位移距离；根据脉冲频 率可得工作轴的转速；根据光栏板上两条狭缝中信号的相位先后，可判断光电码 盘的正、反转。绝对编码器通过与位数相对应的发光二极管和光敏二极管对输出的二进制 码来检测旋转角度。

角度换算：

对于线数为 n 的编码器，设信号采集卡倍频数为 m，则有角度换算关系为：

式中 f ——为编码器轴转角；

N ——编码器读数 对于电机编码器，在倒立摆使用中需要把编码器读数转化为小车的水平位置，以下转换关系：

式中 l ——小车位移；

f ——同步带轮直径

4、控制卡

倒立摆使用了由固高科技提供的控制卡，该控制卡的特点是输出类型可以是模拟量或者脉冲量，它还采用了PID滤波器，外加速度和加速度前馈。通过调节，设置合适的参数，可提高控制系统的速度和精度。

三、倒立摆的建模

由于状态反馈要求被控系统是一个线性系统，而倒立摆系统本身是一个非线性的系统，因此用状态反馈来控制倒立摆系统首先要将这个非线性系统近似成为一个线性系统。

可用牛顿力学方法来建模：在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2所示：

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图2直线一级倒立摆模型

我们不妨做以下假设：

M 小车质量；m 摆杆质量；b 小车摩擦系数；l 摆杆转动轴心到杆质心的长度；I 摆杆惯量；F 加在小车上的力；x 小车位置；φ 摆杆与垂直向上方向的夹角；θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）

下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作 力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图3示，图示方向为矢量正方向。

图3及摆杆受力分析

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

d2 nm2(xlsin)（3-1）

dt8

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即：

mlcosmlsin

nmx（3-2）把这个等式代入式(3-1)中，就得到系统的第一个运动方程：

...2bxmlcosml2sinF

(Mm)（3-3）x为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

d2 pmgm2(lcos)

dt....(3-4)pmgmlsinml2cos...(3-5)力矩平衡方程如下：

plsinNlcosl(3-6)注意：此方程中力矩的方向，由于θ =π +φ,cosφ =-cosθ,sinφ =-sinθ，故等式 前面有负号。

合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：

cos(3-7)(Iml)mglsinmlx2....设θ =π +φ（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧dθ

2度）相比很小，即φ

dcos1,sin,()20

dt(3-8)用，来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：

u bxml(Mm)x(3-9)mglmlx(Iml2)(3-10)注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：

(Iml2)g2](s)

x(s)[mls

(3-11)或

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mls

2（3-12）X(S)(Iml2)s2mgl(s)如果令v = x，则有： (s)ml

V(s)(Iml2)s2mgl（3-13）

把上式代入方程组的第二个方程，得到：

(M+m)[(lml2)g(ml-s](s)s+b[lml22)ml+gs2](s)s-ml(s)s2=U(s)整理后得到传递函数：

ml(s)s2U(s)qs4b(Iml2)(Mm)mglbmgl qs3qs2qs其中

q[(Mm)(Iml2)(ml)2] 设系统状态空间方程为：

.xAXBu yCXDu

由(9)方程为：

(Iml2)..mglmlx 对于质量均匀分布的摆杆有： I13ml2

于是可以得到：

(122..3mlml)mglmlx(3-18)化简得到：

..3g4l34lx 实际系统的模型参数如下: M 小车质量 1.096 Kg m 摆杆质量 0.109 Kg b 小车摩擦系数 0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.2 5m I 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m 把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。

（3-14）（3-15）（3-16）

（3-17）

（3-19）自动化07级2班

摆杆角度和小车位移的传递函数：

mls2

（3-20）22X(S)(Iml)smgl(s)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：

G(s)(s)X(S)0.02725（3-21）20.0102125S0.26705可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y的维数，所以系统可控，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。

四、倒立摆系统控制器的设计

系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，我们在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。

频率响应可以采用以下三种比较方便的方法进行分析，一种为伯德图或对数 坐标图，伯德图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅表 示相角和频率的关系；一种是极坐标图，极坐标图表示的是当ω从0变化到无穷 大时，向量 G(jω)G(jω)的轨迹，极坐标图也常称为奈奎斯特图，奈奎斯特稳 定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝 的稳定性和相对稳定性。

1、频率响应分析

原系统的开环传递函数为：

G(s)(s)X(S)0.02725（4-1）

0.0102125S20.26705

其中输入为小车的加速度V(s)，输出为摆杆的角度Φ(s)。在MATLAB下绘制系统的Bode图和奈奎斯特图。绘制Bode图的命令为： Bode(sys)绘制奈魁斯特图的命令为： Nyquist(sys)在MATLAB中键入以下命令： clear;num=[0.02725];den=[0.0102125 0-0.2

z=roots(num);

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p=roots(den);

subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)得到如图4示的结果： z = Empty matrix: 0-by-1 p = 5.1136-5.1136

图6 原系统Bodel图和Nyquist图

可以得到，系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位于右半s 平面，根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：当ω从-∞到变+∞ 化时，开环传递函数G(jω)沿逆时针方向包围-1点 p圈，其中 p为开环传递函数

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在右半S平面内的极点数。对于直线一级倒立摆，由图 3-21我们可以看出，开 环传递函数在 S 右半平面有一个极点，因此G(jω)需要沿逆时针方向包围-1 点一圈。可以看出，系统的奈奎斯特图并没有逆时针绕-1点一圈，因此系统不稳定，需要设计控制器来镇定系统。

2、频率响应设计及仿真

直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题： 考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为： G(s)(s)X(S)0.02725(4-2)

0.0102125S20.26705设计控制器G(s)，使得系统的静态位置误差常数为 10，相位裕量为50°，增益裕量等于或大于10分贝。

根据要求，控制器设计如下：

1)选择控制器，上面我们已经得到了系统的Bode图，可以看出，给系统 增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为：

1sTs1T(4-3)GC(s)KcK1Ts1sTc已校正系统具有开环传递函数Gc(s)G(s)。设

0.02725K G1(s)KG(s)(4-4)

0.0102125s20.26705式中

K=Keα。

2)根据稳态误差要求计算增益K，1(s)0.02725T KplimGC(s)G(s)limK(4-5)2s0s010.0102125s0.26705(s)Tc可以得到：

K=98 于是有：

0.0272598 G1(s) 20.0102125s0.26705(4-6)3)在MATLAB中画出G(s)的Bode图： clear;num1=[2.6705];den1=[0.0102125 0-0.26705];bode(num1,den1)

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可以获得图7的结果：

图7 加入增益后的Bode图 输入：nyquist(num1,den1)可以获得图8：

图8 增加增益后的Nyquist图

4）可以看出，系统的相位裕量为0°，根据设计要求，系统的相位裕量为50°，因此需要增加的相位裕量为50°，增加超前校正装置会改变 Bode 的幅曲线，这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的G1(jω)的相位滞后增量进行补偿，因此，假设需要的最大相位超前量φm近似等于

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55°。因为

Sinβ=1-α/1+α 计算可以得到：α =0.0994 5)确定了衰减系统，就可以确定超前校正装置的转角频率ω =1/T和ω＝1/(αT)，可以看出，最大相位超前角φm 发生在两个转角频率的几何中m心上，即ω，在ω点上，由于包含(Ts+1)/(αTs+1)项，所以幅值的变化为：

1jT 1jT111jT1j1

(4-7)于是 G1(jω)=-10.0261分贝对应于ω = 28.5rad/s，我们选择此频率作为新的 增益交界频率ωc，这一频率相应于ω,即: 1/T=8.8735 1/Tα=90.3965 6)于是校正装置确定为：

(4-8)Kc=985.9155 7)增加校正后系统的根轨迹和奈魁斯特图如下：

（进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打 开“Inverted PendulumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP Experiment Frequency Response Experiments”中的“Frequency Response Control M Files”）输入： clear;num=98*[0.02725];den=[0.0102125 0-0.26705];subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)

z=roots(num);p=roots(den);

za=[z;-8.9854];pa=[p;-90.3965];

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k=985.9155;sys=zpk(za,pa,k);figure subplot(2,1,1)bode(sys)subplot(2,1,2)nyquist(sys)figure sysc=sys/(1+sys);t=0:0.005:5;impulse(sysc,t)可以得到，如图9Bode图和图10Nyquist图所示：

图9 Bode图

图10 Nyquistl图

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图11利用频率响应方法校正后系统的单位阶跃响应图（一阶控制器）

从 Bode 图中可以看出,系统具有要求的相角裕度和幅值裕度，从奈魁斯 特图中可以看出，曲线绕-1点逆时针一圈，因此校正后的系统稳定。

利用频率响应方法校正后系统的单位阶跃响应图可以看出，系统在遇到干扰后，在1秒内可以达到新的平衡，但是超调 量比较大。

8)打开“L1dofFreq.mdl”，在 MATLAB Simulink 下对系统进行仿真（本 例和以下的例子都不再仔细说明每步的操作方法，详细的步骤请参见前一章 内容）.（进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打 开“Inverted PendulumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP Experiment Frequency Response Experiments ”中的“ Frequency Response Control Simulink”）

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图12 系统仿真图

图13 环节参数设计图

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可以获得图14的结果：

图14 增加超前校正后的单位阶跃响应图

9)可以看出，系统存在一定的稳态误差，为使系统获得快速响应特性，又 可以得到良好的静态精度，我们采用滞后－超前校正（通过应用滞后－超前 校正，低频增益增大，稳态精度提高，又可以增加系统的带宽和稳定性裕量），设滞后－超前控制器为：

11)(s)T1T2 Gc(s)K

1(s)(s)T1T2(s(4-9)10)设计滞后-超前控制器。设控制器为： Gc(s)Kc(31)可以得到静态误差系数:

KplimGc(s)G(s)lim1465s0s01(sT)(sT12)1(sT)(s1T21)1191.3445s8.7099s2

s106.0284s0.1988s8.1164s20.02725100.6s121.3221s0.19880.0102125s20.26705

比超前校正提高了很多，因为－2 零点和－0.1988 极点比较接近，所以对相 角裕度影响等不是很大，滞后-超前校正后的系统Bode图和奈魁斯特图如下

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所示： 输入： clear;num=98*[0.02725];den=[0.0102125 0-0.26705];subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)

z=roots(num);p=roots(den);

za=[z;-8.9854;-2];pa=[p;-90.3965;-0.1988];k=985.9155;sys=zpk(za,pa,k);

figure subplot(2,1,1)bode(sys)subplot(2,1,2)nyquist(sys)

figure sysc=sys/(1+sys);t=0:0.005:5;impulse(sysc,t)可以获得图15和图16所示的结果：

图15增加一阶控制器后系统 Bode图

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图16增加一阶控制器后的 Nyquist图

利用频率响应方法校正后的 Bode 图和 Nyquist图（二阶控制器）

进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打

开“Inverted PendulumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP Experiment Frequency Response Experiments ”中的“ Frequency Response Control Simulink”）设“Controller2”图17所示：

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图17 系统参数设置 可获得图18的结果：

图18 增加二阶控制器后的单位阶跃响应图

可以很明显的看出，系统的稳态误差较少。

五、设计总结

倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对于倒立摆的研究有很深的意义。倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

通过本次创新实践，我了解了倒立摆系统的特点，学会了直线一级倒立摆的建模过程。本次实践用的是机理建模，即对倒立摆系统用牛顿定律进行力学分析，建立运动方程。直线一级倒立摆建模的关键是弄清楚分析对象。通过对不同对象的分析而建立的方程组要进行线性化处理后才进行拉普拉斯变换，这样才能用经典控制理论对系统模型进行分析，并设计控制器。

我们小组的设计是采用的是频率响应法。频率响应法是用MATLAB对控制过程的传递方程进行频率分析。用MATLAB程序绘制出系统的波特图和奈奎斯特图，这样就能分析控制过程的稳定性，并计算出稳定裕度。用频率响应法设计控制器首先要确定设计指标，包括稳态误差，相位裕度，幅值裕度。之后选择控制器模型，本次设计采用的是超前校正。设计方法是先根据稳度误差确定增益，通过对新传递函数的分析确定最大超前相角，通过控制器模型及以上参数确定转角频率。

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这样控制器的理论参数就能计算出来。通过MATLAB分析验证控制器的控制效果。

在这次设计当中，最大的体会是理论与实践是有差别的。在理论上建好模仍需通过不断的实验微调控制器参数，才能实现一个比较完美的控制器，达到稳定快速控制的目的。还有就是对各种建模方法的深刻体会。现实中的很多问题都是通过建模之后，再运用已有的理论知识以及大量的实验、测试来解决的。可以说建模理论的出现，对人类解决各种复杂的问题（包括自动控制问题）有里程碑式的作用。

六、参考资料

《自动控制原理》——————华南理工大学出版社 《现代控制理论》（第3版）——————机械工业出版社 《倒立摆与自动控制原理实验》——————固高科技

以及大量网上关于直线一级倒立摆控制器的设计资料，在此不作罗列。