单级倒立摆_单级倒立摆系统

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单级倒立摆系统的模糊控制问题

姓 名： 卢兴宇

学 号： P101813456 专业班级： 自动化3班

指导老师： 刁晨

日 期：2013年10月28

第一章 绪论

1．1 倒立摆系统的重要意义

倒立摆系统是研究控制理论的一种典型实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点，是一个具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合特性的不稳定系统。在控制过程中，它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。

倒立摆控制问题是展示智能控制方法优于传统控制方法的典型范例。一级倒立摆的背景源于火箭发射助推器；二级倒立摆与双足机器人控制有关。由于倒立摆系统的动态过程与人类的行走姿态类似，平衡过程与火箭的发射姿态调整类似，因此倒立摆的研究在实现双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整以及直升机飞行控制领域中都有着重要的现实意义，有关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域当中。倒立摆的级数有一级、二级、三级、四级乃至多级；以下讨论的为一级倒立板。1．2 倒立摆系统的控制方法

自从倒立摆产生以后，国内外的专家学者就不断对它进行研究，其研究主要集中在下面 两个方面：

（1）倒立摆系统的稳定控制的研究

（2）倒立摆系统的自起摆控制研究

而就这两方面而言，从目前的研究情况来看，大部分研究成果又都集中在第一方面即倒立摆系统的稳定控制的研究。目前，倒立摆的控制方法可分如下几类：

(a)常规PID控制：该方法是最早发展起来的一种控制方法，由于其算法简单、鲁棒性好、速度快、可靠性高等优点，至今仍广泛应用于工业过程控制中。这种方法方法虽然可以用来实现对倒立摆系统的控制但由于其线性的本质，对于一个非线性、绝对不稳定的系统是不能达到满意的控制效果的，振荡会比较厉害。若结合其它控制算法一起使用可发挥出取长补短的作用。

(b)状态反馈控制：状态反馈的极点配置法便是众多倒立摆控制方法中的一种最基本的策略。极点配置法就是通过设计状态反馈控制器，然后将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置之上，从而使系统满足实际应用当中所要求的瞬态和稳态的性能指标。

(c)线性二次型：这种系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控

AxBu通过去顶最佳控制量制变量的二次型。这种方法是针对状态方程XutKxt中的矩阵K，使得控制性能指标达到极小值：

1JxTQxuTRudt

20

（1-1）

将LQR控制方法应用于倒立摆系统当中，首先应该考虑的问题便是其平衡问题，因此需引入全状态反馈。线性二次型最优控制，可以实现对倒立摆系统的平衡控制，而且设计方案很简单、超调量也较小、响应速度较快；但是，线性二次型控制的抗干扰性能和鲁棒性不强，当存在大扰动时，小车的跟随能力有限，存在滞后，尤其对多级倒立摆进行稳定控制时，其困难更大。

(d)变结构控制：变结构控制系统的运动可以分为两个阶段，分别为能达阶段和滑动阶段。其控制也分为两个部分：滑动模态域设计以及变结构控制律设计。变结构控制方法对系统参数摄动和对外部扰动具有很强的鲁棒性，但是由于抖振的存在，使得在一定程度上影响了其控制效果。抖振和鲁棒性是变结构控制方法的两大基本特点，也是变结构控制系统中的一对主要矛盾。因而在实际应用中必须考虑到如何才能消除抖振带来的负面影响，否则不仅会影响控制效果，而且对仪器设备也会造成一定的破坏。

(e)自适应神经模糊推理系统(ANFIS)：这种方法是基于Sugeno模糊模型，并采用类似于神经网络的结构，因此该方法既具有模糊控制方法不要求掌握精确的被控对象数学模型的优点，又具有神经网络控制方法可以自学习的特点，而且计算量小、收敛快，比较适合在微控制器的计算能力较差的场合下使用。将ANFIS控制器应用在倒立摆控制系统当中，在保证摆角较小的情况下(即小于±10°)，可有效地控制倒立摆系统，并且能跟踪目标位置信号、响应速度快、系统超调量较小，但这种方法的鲁棒性较差不如基于遗传算法所设计。

(f)神经网络控制：神经网络控制能够任意充分地逼近各种极其复杂的非线性关系，能够学习并且适应严重不确定性系统的动态特性，因此具有很强的鲁棒性与容错性，也可以将Q学习算法与BP神经网络算法有机的结合在一起，可以对实现状态未离散化倒立摆系统的无模型学习控制。这种控制方法存在的主要问题就是缺乏一种专门的，适合于控制问题的动态的神经网络，而且多层网络层数的确定、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择等也缺乏有指导性原则等。

(g)模糊控制：在倒立摆系统的稳定控制的众多方法中，模糊控制方法无疑是其中一种比较优秀的解决途径，它的鲁棒性较好。但是一般的模糊控制器的设计方法存在着很大的局限性，首先就建立一组比较完善的多维的模糊控制规则而言，就是一个很难解决的问题，即使凑成了一组不完整并且很粗糙的模糊控制规则，在实际控制过程中其控制效果也难以得到保证。如果模糊控制方法能有效的结合其它控制方法就很有可能会产生比较理想的控制效果。

(h)遗传算法：遗传算法是美国密歇根大学Holland教授倡导发展起来的，是模拟生物学中的自然遗传和达尔文进化理论而提出的并行随机优化算法。其基本思想是：随着时间的更替，只有最适合的物种才能得以进化。对于倒立摆系统，需要找到一个可以使系统稳定，且由噪声产生的输出量最小的非线性控制器，也就是要得到的最优解。有关研究表明，遗传算法具有较好的抗干扰特性，但是计算量较大，适合于微控制器计算能力较强的场合。

由于本文所采用的倒立摆系统模型为单级倒立摆系统模型，所以通过对上述各种控制方法之间，优缺点的比较，最终本文采用了模糊控制方法。

第二章 倒立摆的建模及系统分析

2.1 系统建模

单级倒立摆系统的建模属于单一刚性铰链、两自由度动力学问题，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2-1所示。

图2-1 单级倒立摆模型示意图

图2-1中，假设各量的含义如下： M m l I F x φ

θ 小车质量

摆杆质量

0.5 Kg 0.2 Kg 0.3m 0.006 kg²m2 摆杆转动轴心到杆质心的长度

摆杆惯量

加在小车上的力 小车位移

摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）

下面对这个系统进行受力分析。下图2-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图2-2 倒立摆模型受力分析

应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下所述。分析小车水平方向所受的力，可以得到以下方程：

FN Mx

(1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

Nm 即

d2dt2(xlsin)

(2)

cosml2sin mlNmx

(3)把式(3)代入式(1)中，得系统的第一个运动方程：

cosml2sinF(4)ml(Mm)x对摆杆垂直方向上的受力进行分析，可以得到下面方程：

d2Pmgm2(lcos)

dt

(5)即

sinml2cos Pmgml

(6)摆杆的力矩平衡方程如下：

 PlsinNlcosI

(7)

2ml 合并方程(6)和(7)，约去P和N，并由I1得到系统的第二个运动方程： 343mglsinmlcos（8）ml2x设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小，即

d2)0。dt43lgx（9）(Mm)xmlu解代数方程，得到解如下： ,x方程组(9)对xx3mg4xu(4Mm)(4Mm) 3g(Mm)3u(4Mm)l(4Mm)l

(10)令 xxX, xy，00A00100003mg(4Mm)03g(Mm)(4Mm)l00, 1004(4Mm)B，03(4Mm)l1000C，00100D

0 于是可得系统的状态空间表达式如下所示：

AXBuX

yCxDu

(11)于是可以在MATLAB的命令窗口中得到如下所示的系统状态空间方程的A，B，C和D矩阵：

a = 0 1 0 0 0 0 6.682 0 0 0 0 1 0 0 31.18 0 b = 0 1.818 0 4.545 c = 1 0 0 0 0 0 1 0 d = 0 0 根据经验可知，对于一阶倒立摆，如果没有加以控制，当摆杆有一个小的偏角时，或者摆杆初始位置在竖直状态但小车受到一个初始干扰外力，摆杆必然会倒下来，也就是说，上述倒立摆模型中的零平衡点是不稳定平衡点。

于是由 A=[b a*b] A = 0 1.8180 1.8180 0 0 4.5450 4.5450 0 可得rank(A)=2 满秩

所以该系统是能控的，可以通过设计控制器来对该系统进行控制。本文使用模糊控制的方法来进行控制。2.2 控制前的动态特性

我们知道，线性定常系统的稳定性由系统矩阵的特征值决定，若系统矩阵的特征值的实部均不大于零，则系统就是稳定的；否则系统就是不稳定的。下面，我们将根据开环系统矩阵的特征值来判断开环系统的的稳定性。求开环系统矩阵特征值的MATLAB源程序为：

程序4： M = 0.5;m = 0.2;I= 0.006;g = 9.8;l = 0.3;A=[0 1 0 0 0 0 3*M*g/(4*M+m)

0 0 0 0 1 0 0 3*(M+m)*g/((4*M+m)*l)0];B=[0 4/(4*M+m)0 3/((4*M+m)*l)];C=[1 0 0 0 0 0 1 0];D=[0 0];Eig(A)于是，我们可以得到如下结果： ans = 0 0 5.5841-5.5841 显然，因为系统有一个特征值为正实数5.5841，故系统是不稳定的。

第三章 模糊控制器的设计

3.1 MATLAB的使用

Matlab模糊控制工具箱为模糊控制器的设计提供了一种非常便捷的途径，通过它我们不需要进行复杂的模糊化、模糊推理及反模糊化运算，只需要设定相应参数，就可以很快得到我们所需要的控制器，而且修改也非常方便。

首先我们在Matlab的命令窗口（command window）中输入fuzzy，回车就会出来这样一个窗口。

根据题意，需要设计四个输入变量和一个输出变量，如图3-1所示。之后添加隶属度的个数为3个。3.2 确定输入和输出变量

以摆角φ、摆角角速度，小车的位移x，速度x为状态变量。将这些状态变量作为控制器的输入量，以作用在小车的力F作为模糊控制器的输出量。确定摆角的论域[-0.3 ,0.3],将其划分为两个语言变量“大”和“小’,隶属度函数如图3-2所示；；摆角角速度的论域为[-1 ,1]，划分为两个语言变量“快”和“慢”，隶属度函数如图3-3所示，小车的位移论域为[-3 ,3],划分为两个语言变量“远”和“近”，隶属度函数如图3-4所示，速度的论域[-3 ,3]，划分为两个语言变量“快”和“慢”，隶属度函数如图3-5所示，输出变量的论域为[-10，10].3.3 设计模糊规则库

这里选取T-S的控制器，控制器根据这四个变量，综合得出作用于小车的控制信号。然后列出每种输入所对应的输出量的模糊规则，共设计设置了13条规则:



图3-1 设计为四个输入一个输出的模式

图3-2 摆角φ的隶属度函数

图3-3 摆角角速度的隶属度函数



图3-4 位移x的隶属度函数

图3-5 速度x的隶属度函数



图3-6 设计的效果图

根据控制器和倒立摆模型分析，可以得到单级摆控制系统如图3-7所示。

图3-7 单级倒立摆控制系统的结构

3.4 仿真结果

在MATLAB中进行仿真，设定方波为跟踪的期望信号，得到的结果如图3-8所示。图3-9所示为仿真运行时的图形用户界面。

图3-8 小车对方波期望值的跟随情况

图3-9 仿真运行时的图形用户界面

由仿真结果观察可知，小车原地不动，而倒立摆会呈现出360度的旋转，先逆时针，再顺时针。因此设置的模糊控制器没有能够达到控制效果。经过修改规则，增加或者减少，会发现很多现象，比如小车跑过最左端后一起倒下后不再出现，经过反复的调试，均不能实现控制，原因可能是隶属度函数的选取为三角形，或者跨度太大，需要增加隶属度函数的个数。

第四章 结论

本文围绕着单极倒立摆系统，采用模糊控制理论探讨了倒立摆系统的控制问题。并在MATLAB上采用Simulink进行了对单极倒立摆系统的仿真工作，虽然效果不佳，但是也能够学会很多东西。

参考文献

[1] 韩力群.智能控制理论及应用.机械工业出版社.2007 [2] 张嗣瀛 高立群.现代控制理论.清华大学出版社.2006 [3] 吕庆莉.单级倒立摆系统分析与设计.陕西科技大学学报.2009, 27(6): 121-128.