基于倒立摆的现代控制模型建立及分析基于倒立摆的现代控制模型建立及分析_倒立摆控制系统分析

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基于倒立摆的现代控制模型建立及分析

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二〇〇九年十二月二十九日

基于倒立摆的现代控制模型建立及分析

目 录

第一章 绪论...................................................................................................................1 第二章 倒立摆系统建模...............................................................................................2 2.1 状态空间表达式...............................................................................................2 2.1.1 数学模型建立.........................................................................................2 2.1.2 状态变量及状态空间表达式.................................................................3 2.1.3 系统的约旦标准型.................................................................................4 2.1.4 系统的并联实现.......................................................................................5 第三章 倒立摆系统状态空间表达式的解...................................................................7 3.1 状态转移矩阵...................................................................................................7 3.2 系统在单位阶跃函数作用下的解...................................................................7 第四章 倒立摆系统的能控性和能观性.......................................................................8 4.1 倒立摆系统的能控性.......................................................................................8 4.2 倒立摆系统的能控标准型...............................................................................8 4.2.1 能控标准Ⅰ型.........................................................................................8 4.2.2 能控标准Ⅱ型.........................................................................................9 4.3 倒立摆系统的能观性.....................................................................................10 4.4 倒立摆系统的能观标准型.............................................................................10 4.4.1能观标准Ⅰ型..........................................................................................10 4.4.2 能观标准Ⅱ型.......................................................................................11 第五章 倒立摆系统的稳定性与李亚普诺夫方法.....................................................12 第六章 倒立摆系统的综合.........................................................................................13 6.1 系统性能指标的确定.....................................................................................13 6.2 系统极点配置.................................................................................................13 6.3 状态观测器.....................................................................................................14 6.3.1 全维状态观测器...................................................................................14 6.3.2 降维观测器...........................................................................................15 6.4 利用状态观测器实现状态反馈.....................................................................18 第七章 倒立摆系统的最优控制方案及控制器设计.................................................20 参考文献...........................................................................................................................21

基于倒立摆的现代控制模型建立及分析

第一章 绪论

倒立摆作为一个高阶次、多变量、非线性和强祸合的自然不稳定系统，一直是控制领域研究的热点问题。它广泛应用于控制理论研究、航空航天控制、机器人、杂技顶杆表演等领域，在自动化领域中具有重要的理论价值和实践价值。这些物理装置与控制系统的稳定性密切相关，深刻揭示了自然界一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。

倒立摆的研究具有重要的工程应用价值。如机器人问题，机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世以来己有三十多年的历史，但机器人的关键技术至今仍未很好解决。再如太空应用中，倒立摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服云台的稳定有很大相似性，它也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象，因此，倒立摆机理的研究又具有重要的工程应用背景，成为控制理论中经久不衰的研究课题。倒立摆的控制方法，在军工、航天和机器人领域有广泛的用途，对处理一般工业过程亦有指导性作用。

倒立摆常见类型有：（1）直线型倒立摆，（2）环型倒立摆，（3）旋转式倒立摆，（4）复合倒立摆系列。由于时间水平有限，本文仅针对一阶直线型倒立摆进行现代控制分析。图1.1为一级倒立摆装置简图。

摆杆滑轨小车皮带电机

图1.1 一级倒立摆装置简图

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第二章 倒立摆系统建模

2.1 状态空间表达式

2.1.1 数学模型建立

倒立摆系统由质量为M的小车和质量为m，长度为L的的连杆即摆构成。连杆的一端与小车通过旋转关节自由连接，即该关节无驱动力矩。该机械系统目的是操作小车的驱动力F，使得摆稳定在倒立点上，即连杆不倒下，即不超过预先定义好的一个垂直偏离角度范围。图2.1为倒立摆系统图，小车位移为x，摆的角度为。

在系统数学模型中，首先假设：（1）摆杆为匀质刚体；（2）忽略摆杆与支点间的摩擦；（3）忽略小车与导轨的摩擦。

YLΘoFMmgX 图2.1 倒立摆系统图

0摆杆质心的绝对位移为 Hxlsin 系统的初始状态 0，根据牛顿第二运动定律，对系统整体水平方向受力分析，求得方程d2xd2F(t)M2m2(xlsin)

(2-1)dtdt对摆杆O点取力矩平衡，得到方程

27.5°d2HM0m2cosmglsin0

(2-2)dt2

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方程（1）（2）是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加的外力条件下，假定很小，接近于零是合理的。则sin，cos1。在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得到倒立摆系统的数学模型为：



(2-3)mmlF(t)Mxx

(2-4)lglx2.1.2 状态变量及状态空间表达式

在用状态空间法分析系统是，系统的动态特性是用状态变量构成的一阶微分方程组描述的。它能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部内部运动状态，而且还可以方便的处理初始条件[1]。

)T为系统的一组状态变量，输入为：uF(t)，输出,,取(x1,x2,x3,x4)T(x,xyx，则系统的状态方程为：

01x0x2x304x010mg0M00(mM)g0Ml00x110x2Mu

1x30x104Mlx1xy1,0,0,02

x3x4为便于计算，假设小车的质量M=1kg，摆杆质量m=0.2kg，摆杆长度为l=0.5m，g=10m/s2则系统状态方程为

Axbu

ycxx

00其中A001002000240001，b，c1,0,0,0

0102倒立摆系统的原始模拟结构图如图2.2所示。

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u+xx1-2x2x1y22-x4x4x33+x24 图2.2 倒立摆系统的原始模拟结构图

2.1.3 系统的约旦标准型

根据系统的特征方程IA0，得到2(224)0，解得特征值为

120，34.899，44.899。

对应于T10，由(1IA)P10，解得特征向量P11000。对应于20，由(2IA)P2P1，解得特征向量P0100T2。对应于34.8，9由9(3IA)P30，解得特征P14.8991258.788T3。

对应于44.8，9由9(4IA)P40，解得特征PT414.8991258.788。

由特征向量组成的变换矩阵

101100.08330T014.8994.899100.08331，T10001212000.04170.0085

0058.78858.788000.04170.00854

量量 向向

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001约旦标准型矩阵TAT00变换后的相关矩阵为

100000 04.8990004.899T1b00.8330.0170.017，cT1011

T2.1.4 系统的并联实现

00s100s201 系统的传递函数为W(s)C(SIA)1b100000s100024s2W(s)14 s2s2(s224)1W(s)145150.0170.017 22222(s24)6s6(s26)(s26)64.898s4.898用矢量矩阵形式表示为

10xx20x3040x1x10000x21u 04.8990x31004.899x4100x1x2y0.833000.0170.017 x3x4倒立摆并联型模拟结构图如图2.3所示

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2xx21xx10.08334.489u++3xx30.017+++y-4.489++x44x-0.017

图 2.3 倒立摆并联型模拟结构图

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第三章 倒立摆系统状态空间表达式的解

3.1 状态转移矩阵

根据约旦标准型矩阵，求得

10At1e(t)TT00011114.8994.8990012120058.78858.7880t00110000e4.899t0000e4.899t000.08330100.083300.04170.008500.04170.00851000 t0.08330.0417e4.899t0.0417e4.899t0.0833t0.0085e4.899t0.0085e4.899t10.2043e4.899t0.2043e4.899t0.08330.0416e4.899t0.0416e4.899t00.5e4.899t0.5e4.899t0.102e4.899t0.102e4.899t02.451e4.899t2.451e4.899t0.5e4.899t0.5e4.899t3.2 系统在单位阶跃函数作用下的解

初始时刻为t00，初始状态x(0)0，输入u(t)1(t)，根据

x(t)(t)x(0)(t)bu()d

0t1t0000t0.08330.0417e4.899(t)0.0417e4.899(t)0.0833(t)0.0085e4.899(t)0.0085e4.899(t)010.2043e4.899(t)0.2043e4.899(t)0.08330.0416e4.899(t)0.0416e4.899(t)1d4.899(t)4.899(t)4.899(t)4.899(t)000.5e0.5e0.102e0.102e4.899(t)4.899(t)4.899(t)4.899(t)202.451e2.451e0.5e0.5et0.1666(t)0.017e4.899(t)0.017e4.899(t)4.899(t)4.899(t)t0.8330.0832e0.0832ed0 0.204e4.899(t)0.204e4.899(t)4.899(t)4.899(t)ee2.04t20.00347e4.899t0.00347e4.899t4.899t4.899t0.8160.0169e0.0169e 0.0416e4.899t0.0416e4.899t4.899t4.899t0.204e0.204e7

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第四章 倒立摆系统的能控性和能观性

在现代控制理论中，能控性和能观性是两个很重要的概念，是卡尔曼在1960年首先提出来，它是最优控制和最优估计的设计基础。

4.1 倒立摆系统的能控性

对于线性连续定常系统，如果存在个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间t0,tf。使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)。则称此系统是状态完全能控的。系统的能控性完全取决于系统的结构、参数以及控制作用的施加点。

判断该倒立摆系统能控性有如下几种方法：

（1）根据图2.2倒立摆系统的原始模拟结构图，可以看出该系统是完全能控的。

（2）由系统约旦标准型矩阵，可以看出输入矩阵b中相应于约旦块的最后一行元素不为零，故该系统是能控的。

（3）根据能控判别矩阵MbAbA2b04011040，A3b0204820480rank(M)=n=4，故系统是完全能控的。

4.2 倒立摆系统的能控标准型

倒立摆系统属于单输入单输出系统，在能控判别证中只有唯一的一组线性无关量，因此系统的能控标准型是唯一的。

4.2.1 能控标准Ⅰ型

进行非奇异变化xTc1x，将原状态空间表达式化成Axbu yCxx

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1aAbb3a2a101a3a2001a300 01Tc1A3bA2b系统特征方程为42420，即a00，a10，a224，a30

010104040110Tc148020240048020240010020010002000 000201000200.02500.0500.0500.025 Tc11000.500000.500 ATc11ATc1001001000240000 bTc11b ccTc120010

0101s220当然也可根据系统输入输出传递函数W(s)4，直接写出A和c。

s24s24.2.2 能控标准Ⅱ型

进行非奇异变化xTc2x，将原状态空间表达式化成Axbu，yCx xTc2MbAbA2b040110403 Ab02048204801.200.101.200.10 Tc2100.0500.0250.0500.02509

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01TAT1Ac1c100001000000 b ccTc20001 1024010204.3 倒立摆系统的能观性

对于线性连续定常系统，对任意给定的输入u(t)，在有限观测时间tft0，使得根据t0,tf期间的输出y(t)，能唯一的确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称状态x(t0)是可观测的。

（1）根据图2.2倒立摆系统的原始模拟结构图，可以看出该系统是完全能观的。（2）由系统约旦标准型矩阵，可以看出输出入矩阵c中相应于每个约旦块开头的一列元素不为零，故该系统是能观的。

C1CA0（3）根据能控矩阵N2CA03CA0能观的。

000100，rank(N)=n=4，故系统是完全

0200024.4 倒立摆系统的能观标准型

4.4.1能观标准Ⅰ型

进行非奇异变化xT01x，将原状态空间表达式化成 buAxx yCxC1CA0T01N2CA03CA0000100

02000210

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101T0100000100 00.50000.510010002402000 ccT011000

bT011b1100001AT01AT01004.4.2 能观标准Ⅱ型

进行非奇异变化xT02x，将原状态空间表达式化成 buAxx yCx1a301T020000a2a310a1cA302402a2cA224020 a3cA010011000c011AT02AT020000100020000 ccT010001

bT011b1024100注释：因为状态空间表达式能观标准Ⅰ型与能控标准Ⅱ型对偶，能观标准Ⅱ型分别与与能控标准Ⅰ型相对偶，依据对偶原理A1A2T,b1c2T,c1b2T，可以直接写出系统的能关标准型。

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第五章 倒立摆系统的稳定性与李亚普诺夫方法

倒立摆系统是线性系统，系统的稳定性只取决于系统的结构和参数而与系统的初始条件及外界扰动无关。

李亚普诺夫第一法关于线性系统的稳定判据为：线性定常系统:(A,b,c)

Axbu

ycxx，平衡状态xe0渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值具有负实部。

倒立摆系统的特征方程IA0，2(224)0，解得特征值为120，34.899，44.899，故该系统的状态不是渐进稳定的。

s220系统输入输出传递函数为W(s)C(SIA)b4，传递函数的极点为

s24s21s1s20，s34.899，s44.899，并不是都位于s平面的左半平面，故该系统输出不是渐进稳定的。

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第六章 倒立摆系统的综合6.1 系统性能指标的确定

本文中的倒立摆系统是四阶的高阶系统，忽略某些留数很小的或离虚轴很远的极点所对应的瞬态分量，可以用一个二阶的低阶系统来近似。各瞬态响应分量衰竭快慢取决于对应的闭环极点距离s平面虚轴的远近，其中最靠近虚轴的闭环极点对系统的瞬态响应起主导作用，称为闭环主导极点。若其他非主导极点的实部比主导极点的实部大5倍以上，则主导极点对应的瞬态分量衰减到进入稳态（即△=±2%或△=±5%）所需要的调整时间比其他非主导极点所需时间慢5倍以上[2]。

配置二阶系统的性能指标，超调量Mpe12100%15%，得出阻尼比0.2727。00.8时，对应于稳态允许误差范围△=±2%，调整时间计算公式ts42s，算出无阻尼固有频率n7.334rad/s。故二阶主导极点为nS1,2nn1n22j7.056，远离这两个主导极点配置系统的另外两个极点S315，S418。

6.2 系统极点配置

由极点S1,22j7.056，S315，S418，22系统的期望特征多项式为f()(2nn)(3)(4)

4373455.7882285514522.76

倒立摆系统的能控标准Ⅰ型为

00x001001000240000xb 100113

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y20010x

由于该系统完全能控，故可实现状态反馈配置极点，加入状态反馈矩阵Kk0k1k2k3，系统的闭环特征多项式为

f()det[I(AbK)]

4(k3)3(24k2)2(k1)(k0)

比较f()和f()的各项对应系数，可解得

k014522.76,k12855,k2479.788,k337，K14522.762855479.78837 反变换到x状态

10KKT01114522.762855479.7883700000100

00.50000.514522.762855239.89418.5

6.3 状态观测器

6.3.1 全维状态观测器

本文中倒立摆系统是完全能观的，可以构造状态观测器 系统的能观Ⅱ型为

01x0000100020000

y0001x

xu0241100引入反馈阵Gg1g2g3g4T，得到观测器特征多项式为

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g10010g2f()det[I(AGc)]det0124g3001g44g43(24g3)2g2g1

比较f()和f()的各项对应系数，可解得

G14522.762855431.78837

T

反变换到x状态，0240214522.7668450240202855516 GT02G0100431.7884.229810003721.549全维观测器方程为

ˆ(AGc)xˆbuGy x684505164.229821.5490000100200024100200024006845001516ˆxuy 104.22980221.549006845001516ˆˆ)xu(yy104.22980221.549倒立摆系统的全维状态观测器如图6.1所示。

6.3.2 降维观测器

01T0000100001100-10T00011000010000 1015

基于倒立摆的现代控制模型建立及分析

001ATAT01001bTb0***000000100010020002400011000001000011020000024010010000 00001010 10202000100001100001 0001ccT100000引入Gg1g2Tg3得到观测器特征多项式为

f()detI(A11GA21)

g1detg2g3203g12(242g2)24g12g31= 24配置观测器极点为-15，-15，-15，期望的观测器特征多项式为

3f()（+15）34526753375

比较f()和f()各相应项系数，得

g145,g2349.5,g32227.5，即观测器为

G45349.52227.5

T观测器方程为

ˆ1(A11GA12)wˆ[(A11GA12)G(A12GA22)]y(B1GB2)u wˆ1wˆGy x204527201ˆ1349.501wˆ17950y0u w2227.52401086302

基于倒立摆的现代控制模型建立及分析

u（A,b,C）yˆy-68450++-516ˆ1xˆ1xˆ2x+++ˆ2xˆ3x-24.2298++-221.549ˆ3x24+++ˆ4xˆ4x

图 6.1 倒立摆系统的全维状态观测器

45ˆ1wˆ349.5y x2227.5整个状态量x的估计值为

ˆ145ywˆˆˆˆx1wGyw2349.5y xˆ2227.5yx4x4w3y原系统的状态估计为

基于倒立摆的现代控制模型建立及分析

0ˆ1ˆTxx0000100001ˆ145yy1wˆˆw45y0w2349.5y1 ˆ0wˆ32227.5yw2349.5yw0yˆ32227.5y系统降维观测器如图6.2所示。

u(A,b,c)yˆ4x90-4517950272045+++-349.5+-2++349.5ˆ1x-699108625.5++2227.5++++-45++ˆ2x2227.5++-+ˆ3x4455图 6.2 倒立摆系统的降维状态观测器

6.4 利用状态观测器实现状态反馈

根据全维观测器方程

68450516ˆx4.229821.549状态反馈阵

100200024006845001516ˆxuy 104.22980221.549K14522.762855239.89418.5

可以得出全维观测器闭环系统图如图6.3所示。

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u（A,b,C）y-68450+++++-516ˆ1xˆ1xˆ2xˆ2xˆ3x4.2298+24+ˆ3x-2-2+++21.549ˆ4xˆ4x图 6.3 闭环系统模拟结构图

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第七章 倒立摆系统的最优控制方案及控制器设计

针对第二章倒立摆系统的状态空间方程式，通过确定最优控制量u(t)Kx(t)的矩阵K，使得闭环系统渐进稳定，同时使线性二次型最优控制指标（式6-1）达到最小。

J1tfT1TT[xQ(t)xuQ(t)u]dtx(tf)Q0x(tf)(6-1)12t202式中，Q1(t)为nn维半正定的状态加权矩阵；Q2(t)为rr维正定的控制加权矩阵；Q0(t)为nn维半正定的终端加权矩阵。Q1(t)和Q2(t)是用来衡量状态变量和输入向量的权重。

针对倒立摆系统的平衡问题，可引入全状态反馈。当给系统施加阶跃输入时，找出满足系统性能的反馈增益矩阵K，使在其作用下将系统由初始状态驱动到零平横状态。如果系统受到外界干扰而偏离零状态，施加最优控制u使得系统回到零状态附近并同时满足J达到最小，其中u由公式6-2解得。

uQ21(t)BT(t)P(t)x(t)K(t)x(t)(6-2)求解黎卡提（Riccati）矩阵方程（式6-3）的就可获得P的值以及最有反馈矩阵K值即式6-4。

-PA-ATPPBQ-1BTP-Q(6-3)P21KR1BTP(6-4)当tf趋向无穷时，P(t)趋近于一个常值矩阵，Pt0，因此，上式给出的Riccati方程就简化为PAATPBR1BTPQ0。

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参考文献

[1] 刘豹，唐万生．.现代控制理论．北京：机械工业出版社，2009．9～10.[2] 吴振顺，张健成．.控制理论基础与应用．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2007．59～63.21