北师大版高中数学必修5余弦定理_高中数学北师大必修五

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北师大版高中数学必修

52.1.2《余弦定理》教学设计

一、教学目标

认知目标：引导学生发现余弦定理，掌握余弦定理的证明，会运用余弦定解三角形中的两类

基本问题。

能力目标：创设情境，构筑问题串，在引导学生发现并探究余弦定理过程中,培养学生观察、类比、联想、迁移、归纳等能力；在证明定理过程中，体会向量的思想方法；在解决实际问题过程中，逐步培养学生的创新意识和实践能力。

情感目标：通过自主探究、合作交流，使学生体会到“发现”和“创造”的乐趣，培养学生

学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。

二、教学重难点

重点：探究和证明余弦定理；初步掌握余弦定理的应用。

难点：探究余弦定理，利用向量法证明余弦定理。

三、学情分析和教法设计：

本节课的重点和难点是余弦定理的发现和证明，教学中，我采取“情境—问题”教学法,从情境中提出数学问题,以“问题”为主线组织教学,从特殊到一般，引导学生在解决问题串的过程中，既归纳出余弦定理，又完成了用几何法对余弦定理的证明，以分散难点；用向量证明余弦定理时，我首先引导学生利用向量证明勾股定，让学生体会向量解题基本思路、感受到向量方法的便捷，然后鼓励学生证明余弦定理，最后通过二组例题加深学生对余弦定理的理解，体会余弦定理的实际应用。

四、教学过程

环节一 【创设情境】

1、复习引入

让学生回答正弦定理的内容和能用这个定理解决哪些类型的问题。

2、情景引入

浙江杭州淳安千岛湖(图片来自于http://image.baidu.com)，A、B、C三岛位置如图所示，根据图中所给的数据，你能求出A、B两岛之间的距离吗？

启发学生积极思考，尝试转化为直角三角形,利用已学知识解决问题解决问题。在三角形ABC中，作AD⊥BC，交BC延长线于D，由∠ACB=120o，则∠ACD=60o，在RtΔADC中，∠CAD=30o，AC=6则CD=3,AD=3.在RtΔADB中,由勾股定理得:

AB2=AD2+BD2，AB2=67.96AB≈8.24km

答：岛屿A与岛屿B的距离为8.24 km

探究2:若把上面这个问题变为：

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C为钝角）求 c.在探究1的解法基础上，把具体数字用字母替换，结合三角函数知识，不难得出 c2= a2+b2－2abcosC．

探究3:若把上面这个问题变为：

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C为锐角）求 c.如右图，当∠C为锐角时，作AD⊥BC于D，BD把△ABC分成两个直角三角形： A 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；

在Rt△ADC中，AD=AC·sinC=bsinC，DC=AC·cosC=bcosC．

容易求得：c2=a2+b2－2abcosC．

探究4: :若把上面这个问题变为： C

B

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C为直角）求 c.结合前面的探究，你有新的发现吗？

222此时，△ABC为直角三角形，由勾股定理得c=a+b;也可以写成c2=a2+b2－2abcos900

环节三【总结规律，发现新知】

探究1：总结规律。

结合前面的探究，我们容易发现，在△ABC中，无论∠C是锐角、直角还是钝角，都有

c2=a2+b2－2abcosC

同理可以得到a2=b2+c2－2bccosA．

b2=c2+a2－2accosB．

这就是余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余

弦的积的两倍。

探究2：余弦定理的证明：

余弦定理是三角学中一个重要的定理，上一环节中的探究2—探究4是该定理的一种传统的方法——几何证法，历史上有很多人对余弦定理的证明方法进行研究，建议同学们登陆，在百度文库中查阅有关三角学的历史，了解余弦定理证明的一些经典方法，如爱因斯坦的证法、坐标法、用物理的方法以及张景中的《绕来绕去的向量法》和《仁者无敌面积法》等等。其中向量法是最简洁、最明了的方法之一。

问题①:用向量的方法能证明勾股定理吗?

222在△ABC中已知∠A=900，BC=a，AB=c,CA=b, 求证：a=b+c B 证明：如右图，在△ABC中，设ACb,ABc,CBa.由向量的减法运算法则可得，ABACCB,即cba

A

222 等式两边平方得，cb2cba，2202222由向量的运算性质得cb2cbCos90a即cba

所以a2=b2+c

2问题②:如何用向量的方法证明余弦定理？

0把问题①的证明中Cos90换为CosA即可。

教师点评：利用向量来证明勾股定理,让学生体会向量解题基本思路、感受到向量方法的便捷，激发学生兴趣，在此基础上，可以很简单的证明余弦定理，让学生切身体会到向量作为一种工具在证明一些数学问题中的作用。

探究3：余弦定理的分析

问题①：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2．若a，b边的长度不变，变换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请同学们思考。

首先，可借助于多媒体动画演示，让学生直观感受，a，b边的长度不变时，∠C越小，AB的长度越短，∠C越大，AB的长度越长

222其后，引导学生，由余弦定理分析： c=a+b－2abcosC。

当∠C=90°时，cosC=0，则有c2=a2+b2，这是勾股定理，它是余弦定理的特例。当∠C为锐角时，cosC>0，则有c2

2当∠C为钝角时，cosC

问题②余弦定理作用？

从以上的公式中解出cosA,cosB,cosC,则可以得到余弦定理的另外一种形式： b2c2a2

cosA2bca2c2b2cosB2aca2b2c2cosC2ab

即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；

知三求一已知三角形的三条边，求角。

已知三角形的两边和其中一边的对角，可求另一边；（方程的思想）环节四【及时练习，巩固提高】

下面，请同学们根据余弦定理的这两种应用，来解决以下例题。O例1①在△ABC中，已知a=5,b=4,∠C=120,求c.②在△ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形三个内角的大小及其

面积。Q 环节五【应用拓展，提高能力】

例2：如图所示，有两条直线AB和CD相交成800角，交点是O，甲、乙两人同是从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4km/h、4.5km/h，B O P 3小时后两个相距多远（结果精确到0.1km）? 分析：经过3时，甲到达点P，OP=43=12（12km）乙到达点Q，OQ=4.53=13.5(km).问题转化为在△OPQ，已知OP=12km.，OQ=13.5km,∠POQ=800,求PQ的长。

例3 下图是公元前约400 ┅的图形（可登陆http://math.100xuexi.com 查阅详细资料），试计算图中线

段BD的长度及∠DAB的大小.1B A 环节六 【课堂反思总结】 通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此

有何体会？（先由学生回答总结，教师适时的补充完善）

1、余弦定理的发现从直角三角形入手，分别讨论了锐角三角形和钝角的三角形情况，体现了由特殊到一般的认识过程，运用了分类讨

论的数学思想； D C2、用向量证明了余弦定理，体现了数学知识的应用以及数形结合数

学思想的应用；

3、余弦定理表述了三角形的边与对角的关系，勾股定理是它的一种特例。用这个定理可以解决已知三角形的两边及夹角求第三边和已知三角形的三边求内角的两类问题。环节七 【布置课后作业】

1、若三角形ABC的三条边长分别为a2，b3，c4，则2bccosA2cacosB2abcosC。

2、在△ABC中,若a＝7,b＝8,cosC13,则最大内角的余弦值为 143、已知△ABC中，acosB=bcos A，请判断三角形的形状（用两种不同的方法）。

4、p52教材习题2-1第6,7题。

五、教学反思

1、余弦定理是解三角形的重要依据。本节内容安排两节课适宜。第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用。

2、当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性。但是这个问题在本节课讲给学生，学生不易理解，可以放在第二课时处理。

3、本节课的重点首先是定理的发现和证明，教学中，我采取“情境—问题”教学模式,沿着“设置情境—提出问题—解决问题—总结规律---应用规律”这条主线,从情境中提出数学问题,以“问题”为主线组织教学,形成以提出问题与解决问题携手并进的“情境—问题”学习链,目的使学生真正成为提出问题和解决问题的主体,成为知识的“发现者”和“创造者”,使教学过程成为学生主动获取知识,发展能力,体验数学的过程.5、合理的应用多媒体教学，起到画龙点睛。

6、在实际的教学中，发现学生对于所学的知识（例如向量）不能很好的应用，学生的数学思想（如分类讨论、数形结合）也不能灵活的应用，这在以后的教学中还应该加强。