高中数学必修5新教学案：1.1.2余弦定理(第1课时)_必修5正弦定理课时二

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【知识要点】

1.三角形的边角关系；2.余弦定理；3.余弦定理与勾股定理之间的关系.2.余弦定理；3.余弦定理与勾股定理之间的关系.3.余弦定理与勾股定理之间的关系.【学习要求】

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理；

2.会运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 5 页～第6 页）

1．如果已知一个三角形的两边及其所夹的角,那么这个三角形的大小、形状是否完全确定?

2.如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边.3.教材中给出了用向量法证明余弦定理的方法,体现了向量在解决三角形度量问题中的作用.另外思考用坐标法和三角法如何证明余弦定理.4.讨论余弦定理和勾股定理之间的联系.5.应用余弦定理解三角形(阅读例3).【基础练习】

1．在ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到0.10,边长精确到0.1cm):

0（1）a=2.7cm, b=3.6cm, C=82.2;

（2）b=12.9cm, c=15.4cm, A=42.30.【典型例题】

例1 在ABC中, a=2, b=4, C=1200,求c边的长.例2 在ABC中,已知b=5, c

A=300求a、B、C及面积S.变式: 在ABC中，已知a=8，c=

41），面积s，解此三角形.必修51.1.2余弦定理（学案）（第1课时）

11.在ABC中，若C为钝角,下列结论成立的是().(A)a2+b2> c2(B)a2+b2

3.在ABC中, a=3, b=4, c,求最大角.4.在ABC中, BC=a,AC=b,且a,b是方程x

2-2根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度数;(2)求AB的长.x+2=0的两

1.已知a,b, c是ABC中∠A, ∠B,∠C的对边, S是ABC的面积,若a=4,b=5,S

=5,求c的长度.必修51.1.2 余弦定理（教案）

【教学目标】

1．通过对三角形边角关系的探索, 能证明余弦定理, 了解可以从向量、解析法和三角法等多种途径证明余弦定理.2．了解余弦定理与勾股定理之间的联系.3.能够应用余弦定理解三角形.【重点】: 通过对三角形边角关系的探索, 证明余弦定理, 并能应用它解三角形.【难点】: 余弦定理的证明.【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 5页～第6页）

1．如果已知一个三角形的两边及其所夹的角,那么这个三角形的大小、形状是否完全确定?(完全确定)

2.如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边(a2=b2+c2-2bccosA,22222

2b=a+c-2accosB,c=a+b-2abcosC．)

3.教材中给出了用向量法证明余弦定理的方法,体现了向量在解决三角形度量问题中的作用.另外思考用坐标法和三角法如何证明余弦定理.证法１（向量法）：见教材.证法２（解析法）：如图,以A点为原点，以ABC的边AB,所在直线为x轴，以过A与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),C(bcosA,bsinA)，B(c,0)，由连点间的距离公式得：BC2(bcosAc)2(bsinA0)2，即

abcosA2bccosAcbsinA

所以 abc2bccosA,同理可证b2a2c22accosB ,c2a2b22abcosC

证法３（三角法）：提示：先分锐角，钝角两种情况。过C作CDAB(或其延长线)于D，则CD=bsinA，然后求出BD,在RtABC中，用勾股定理得

222

BCCDBD,化简即可.4.讨论余弦定理和勾股定理之间的联系.余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 5.应用余弦定理解三角形(阅读例3).【基础练习】

1．在ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到0.10,边长精确到0.1cm):（1）a=2.7cm, b=3.6cm, C=82.20;

（2）b=12.9cm, c=15.4cm, A=42.3.解：（１）A≈43.50, B≈58.20，c≈4.2cm;(2)a≈10.5cm, B≈55.80, C≈0

81.9.【典型例题】

例1 在ABC中, a=2, b=4, C=1200,求c边的长.【审题要津】 由条件知可直接用余弦定理求解.解：由余弦定理,得

22222)=28, c=a+b-2abcosC=2+4-2ⅹ2ⅹ4ⅹ(-12

∴c

=2【方法总结】已知三角形的两边及其夹角可直接用余弦定理求解

例2在ABC中,已知b=5, c，A=30求a、B、C及面积s.【审题要津】根据已知条件,可用余弦定理求a,然后可用正弦定理求角B和C,面积用

S=

cbsinA求解.解：由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=25, ∴a=5.由正弦定理,得sinB

bsinAa

12,∴B=300, C=1800-A-B=1200

.Sabc

absinC【方法总结】(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理.(2)一般地,使用正弦定理求角时,有时要讨论解的个数问题.变式: 在ABC中，已知a=8，c=4

1），面积S

.解:由正弦定理,得S

acsinB,即B=60,或B120(舍),由余弦定理,得

00

b=a+c-2accosB

=84



1284





1



96,∴b,cosA

bca

2bc

222

,A45.C180AB180456075.0000

1.在ABC中，若C为钝角,下列结论成立的是(B).222222

(A)a+b> c(B)a+b

22222

解: 由余弦定理,得c=a+b-2abcosC=1+1-2ⅹ1ⅹ1ⅹ(-1)=3, 2

∴c

=3.在ABC中, a=3, b=4, c,求最大角.解: 显然C最大,由cab2abcosC,得cosC



abc

2ab

222



3437234

1

2,∴C=1200.4.在ABC中, BC=a,AC=b,且a,b是方程x-2

x+2=0的两

根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度数;(2)求AB的长.由根与系数关系知abab2, ,C120, 又2cosab1,cosC12

222

c=a+b-2abcosC=ab2ab2abcosC=12-4-4×

=10,C



1.已知a,b, c是ABC中∠A, ∠B,∠C的对边, S是ABC的面积,若a=4,b=5,S

=5求c的长度.12

解:由SabsinC,得

=

45sinC,所以sinC

,∵C为三角形的内

角，∴C60或C120，当C60时，cab2abcosC45245cos60

21，∴C

00

当C120时，222220

cab2abcosC45245cos120

61，∴C