线性代数二次型习题及答案_线性代数习题二及答案

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第六章

二次型

B1与合同.AB22

证：因为A1与B1合同，所以存在可逆矩C1，使B1C1TAC11，1．设方阵A1与B1合同，A2与B2合同，证明T

因为A2与B2合同，所以存在可逆矩C2，使B2C2A2C2.A

1令

CC1，则C可逆，于是有 C2T1C1B1C1TACA1C11

TBC2A2CAC2222A1B1即

与合同.AB22

2．设A对称，B与A合同，则B对称

证：由A对称，故AA.因B与A合同，所以存在可逆矩阵C，使BCAC，于是

TTAT1CC2CA2BT(CTAC)TCTATCCTACB

即B为对称矩阵.3．设A是n阶正定矩阵，B为n阶实对称矩阵，证明：存在n阶可逆矩阵P，使PTAP与PTBP均为对角阵.证：因为A是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M，使

MTAME

记B1MBM，则显然B1是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q，使 TQTB1QDdiag(1,,n)

其中1,,n为B1MTBM的特征值.令P=MQ，则有

PTAPE,PTBPD

A,B同时合同对角阵.4．设二次型f(ai1mi11令A(aij)mn，则二次型f的秩等于r(A).xainxn)2，证：方法一

将二次型f写成如下形式：

f(ai1x1aijxjainxn)2

i1m设Ai=(ai1,,aij,,ain)

(i1,,m)

·107· a11a1ja1nA1则

Aai1aijainAi

am1amjamjAmA1mTTTT于是

AA(A1,,Ai,,Am)AiAiTAi

i1Amai1mm22故

f(ai1x1aijxjainxn)=[(x1,xj,xn)aij]

i1i1ainai1x1x1mmT

=[(x1,xj,xn)aij(ai1,aij,ain)xj]=(x1,xj,xn)(AiAi)xj

i1i1axxinnn

=X(AA)X

因为AA为对称矩阵，所以AA就是所求的二次型f的表示矩阵． 显然TTTTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩为r(A)．

T方法二

设yiai1x1ainxn,i1,,n.记Y(y1,,ym)，于是

YAX，其中X(x1,,xn)T，则

2fyi2y12ymYTYXT(ATA)X.i1m

因为AA为对称矩阵，所以AA就是所求的二次型f的表示矩阵． 显然TTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩为r(A)．

T

5．设A为实对称可逆阵，fxAx为实二次型，则A为正交阵可用正交变换将f化成规范形.证：设i是A的任意的特征值，因为A是实对称可逆矩阵，所以i是实数，且i0,i1,,n.因为A是实对称矩阵，故存在正交矩阵P，在正交变换XPY下，f化为标准形，· ·108即

fXTAXYT(PTAP)YYTDYYTdiag(1,,i,,n)Y

21y1

（*）iyi2nyn

因为A是正交矩阵，显然DPTAPdiag(1,,i,,n)也是正交矩阵，由D为对角实矩阵，故i21即知i只能是1或1，这表明（*）恰为规范形.因为A为实对称可逆矩阵，故二次型f的秩为n.设在正交变换XQY下二次型f化成规范形，于是

22YDY

fXTAXY(QTAQ)Yy1yr2yr21ynT其中r为f的正惯性指数，Ddiag(1,,1,1,,1).TT

显然D是正交矩阵，由DQAQ，故AQDQ，且有AAAAE，故ATT是正交矩阵.6．设A为实对称阵，|A|0，则存在非零列向量ξ，使ξTAξ0.证：方法一

因为A为实对称阵，所以可逆矩阵P，使

PTAPDdiag(1,,i,,n)

其中i(i1,,n)是A的特征值，由|A|0，故至少存在一个特征值k，使k0，0取ξP1，则有

0100TT1k0 ，1,0,0)k

ξAξ(0,,1,,0)PAP1(00n0

方法二（反证法）

T

若X0，都有XAX0，由A为实对称阵，则A为半正定矩阵，故|A|0与|A|0矛盾.222

7．设n元实二次型fXAX，证明f在条件x1x2xn1下的最大值恰T为方阵A的最大特征值．

解：设1,2,,n是f的特征值，则存在正交变换XPY，使fXTAXYT(PTAP)Y1y122y2nyn设k是1,2,,n中最大者，当XXx1x2xn1时，有

·109·

T22222XTXYTPTPYYTYy12y2yn1

因此

2222f1y122y2nyn k(y12y2yn)k

222这说明在x1=1的条件下f的最大值不超过k． x2xn

设

Y0(y1,,yk,,yn)T(0,,0,1,0,.0)T 则

Y0TY01

222f1y122y2kyknynk

令X0PY0，则

TX0X0Y0TY1

并且

Tf(X0)X0AX0Y0T(PTAP)Y0k

222这说明f在X0达到k，即f在x1x2xn1条件下的最大值恰为方阵A的最大特征值．

8．设A正定，P可逆，则PAP正定.证：因为A正定，所以存在可逆矩阵Q，使AQTQ，于是

PAPPQQP(QP)QP，显然QP为可逆矩阵，且 TTTTT(PTAP)T(QP)TQPPTAP，即PTAP是实对称阵，故PTAP正定.9．设A为实对称矩阵，则A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使AB+BA正定．

证：先证必要性

取BA，因为A为实对称矩阵，则 1TABBTAE(A1)TA2E

当然ABBA是正定矩阵． 再证充分性，用反证法．

若A不是可逆阵，则r（A）

因为A是实对称矩阵，B是实矩阵，于是有

TTTX0(ABBTA)X0(AX0)TBX0X0B(AX0)0

这与ABABBA是正定矩阵矛盾．

10．设A为正定阵，则AA3A仍为正定阵.证：因为A是正定阵，故A为实对称阵，且A的特征值全大于零，易见A,A,A2*1AA3A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故A,A,A全是正定矩阵，2*T2*12*11为实对称阵.对X0，有

XT(A2A*3A1)XXTA2XXTA*XXTA1X0

· ·110

即

AA3A的正定矩阵.11．设A正定，B为半正定，则AB正定.T

证：显然A,B为实对称阵，故AB为实对称阵.对X0，XAX0，2*1XTBX0，因XT(AB)X0，故AB为正定矩阵.12．设n阶实对称阵A,B的特征值全大于0，A的特征向量都是B的特征向量，则AB正定.证：设A,B的特征值分别为i,i(i1,,n).由题设知i0,i0,i1,,n.PTAPdiag(1,,i,,n)

为PiA的特征向量，i1,,n.因为A是实对称矩阵，所以存在正交矩阵P(P1,,Pi,,Pn)，使 即

AP,iiiP

由已知条件Pi也是B的特征向量，故

BPiiPii1,i,,n

因此

ABPiAiPi(ii)Pi，这说明ii是AB的特征值，且ii0，i1,,n.又因为

ABPPdiag(11,,ii,,nn),PTP1.故

ABPdiag(11,,ii,,nn)P，显然AB为实对称阵，因此AB为正定矩阵.13．设A(aij)nn为正定矩阵，b1,b2,,bn为非零实数，记

B(aijbbij)nn

则方阵B为正定矩阵．

证：方法一

因为A是正定矩阵，故A为对称矩阵，即aijaji，所以aijbibjajibjbi，这说明B是对称矩阵，显然

a11b21abb1anbb1221n1b10a11a1nb102abbababb2121222n2n2

B= 0baa0bnn1nnnabbabbabbnnnnn1n1n2n1

对任给的n维向量X(x1,,xn)0，因b1,b2,,bn为非零实数，所以

T(b1x1,,bnxn)T0，又因为A是正定矩阵，因此有

b10a11a1nb10TT

XBXXX

0baa0bnn1nnna11a1nb1x1

=(b1x1,,bnxn)0

aabxnnnnn1即B是正定矩阵．

·111·

方法二

记

a11b12a12b1b2a1nb1bnabbab2abb2n2n B2121222abbabbabbnnnnn1n1n2n1则因为A是实对称矩阵，显然B是实对称矩阵，b10

B的k阶顺序主子阵Bk可由A的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵而

0bn得到，即

b10a11a1kb10Bk

0baa0bkk1kkk计算Bk的行列式，有

Bkbi2Ak0

i1n故由正定矩阵的等价命题知结论正确．

14．设A为正定矩阵，B为实反对称矩阵，则AB0.证：因为M是n阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n阶实矩阵M，如果对任意非零列向量X，均有

XTMX0

可推出M的特征值(或者其实部)大于零． 由于M的行列式等于它的特征值之积，故必有M0 ．

因为A是正定矩阵，B是反对称矩阵，显然对任意的 非零向量X，均有

XT(AB)X0,而A+B显然是实矩阵，故AB0.T

15．设A是n阶正定矩阵，B为nm矩阵，则r(BAB)=r(B)．

T

证：考虑线性方程组BX0与BABX0，显然线性方程组BX0的解一定是BTABX0的解．

TT

考虑线性方程组BABX0，若X0是线性方程组BABX0的任一解，因此有BTABX00．

上式两端左乘X0有 T(BX0)TA(BX0)0

· ·112

T

因为A是正定矩阵，因此必有BX00，故线性方程组BX0与 BABX0是同解方程组，所以必有r(BAB)= r(B).16．设A为实对称阵，则存在实数k，使|AkE|0.证：因为A为实对称阵，则存在正交矩阵P，使 TP1APdiag(1,,i,,i).其中i为A的特征值，且为实数，i1,,2.于是

APdiag(1,,i,,n)P1

1k

|AkE||P|ik|P|(ik)

1i1nnk取kmax{|i|1}，则1in|(k)0，故

|AkEii1n0.17．设A为n阶正定阵，则对任意实数k0，均有|AkE|kn.证：因为A为正定矩阵，故A为实对称阵，且A的特征值i0,i1,,n.则存在正交矩阵P，使

11,PAPin于是对任意k0，有

1k|P|

|AkE|1P1 APinikP|1|(ik)kkn.i1i1nnnk

18．设A为半正定阵，则对任意实数k0，均有|AkE|0.证：因为A为半正定矩阵，故A为实对称矩阵，且A的特征值i0，i1,,n.则存在正交矩阵P，使

PAPdiag1(,于是对任意k0，有

|AkE|P||dia1g(k,ik, 1i,,n,，A)Pdiag(1,,i,,n)P1

n,k,P1|(|ik)kn0.)i1n·113·

19．A为n阶实矩阵，为正实数，记BEAA，则B正定.T

证：BT(EATA)TEAAB，故B是实对称矩阵.T

对X0，有(X,X)0,(AX,AX)0，因此有

AX(X,X)AX(AX,)0

XTBXXT(EATA)XXTXXTAT故

BEAA为正定矩阵.20．A是mn实矩阵，若AA是正定矩阵的充分必要条件为A是列满秩矩阵．

证：先证必要性

方法一

设AA 是正定矩阵，故X00，有

TX0(ATA)X0(AX0)T(AX0)0

由此AX00，即线性方程组AX0仅有零解，所以r(A)=n，即A是列满秩矩阵． TTT方法二

因为AA 是正定矩阵，故r(AA)=n，由于 TTnr(ATA)r(A)n

所以r(A)=n． 即A是列满秩矩阵．

再证充分性：因A是列满秩矩阵，故线性方程组仅有零解，X0，X为实向量，有AX0．因此

XT(ATA)X(AX)T(AX)(AX,AX)0

显然AA 是实对称矩阵，所以AA 是正定矩阵．

21．设A为n阶实对称阵，且满足A6A4E0，则A为正定阵.证：设为A的任意特征值，ξ为A的属于特征值的特征向量，故ξ0，则

2TTAξξ,2A2ξ2ξ

由

A6A4E0

有

Aξ6Aξ4ξ0

2(264)ξ0 2由

ξ0，故

640.350.因为A为实对称矩阵，故A为正定阵.22．设三阶实对称阵A的特征值为1,2,3，其中1,2对应的特征向量分别为ξ1(1,0,0)T,ξ2(0,1,1)T，求一正交变换XPY，将二次型fXTAX化成标准形.解：设ξ3(x1,x2,x3)T为A的属于特征值3的特征向量，由于A是实对称矩阵，故ξ1,ξ2,ξ3满足正交条件

1x10x20x30 0x1x1x0231

解之可取ξ3(0,1,1)，将其单位化有

· ·11

411T11T,),P3(0，)222210011

令

P(P1,P2,P3)0.2211022则在正交变换XPY下，将f化成标准形为 P1(1,0,0)T,P2(0,22 fXTAXYT(PTAP)Yy122y23y

323．设

122A24a

2a42二次型fXTAX经正交变换XPY化成标准形f9y3，求所作的正交变换.2解：由f的标准形为f9y3，故A的特征值为120,39.1故

|EA|22a2(9)

422214a2

令0，则

2解之

a4.4a0 2a4122由此

A244

244

对于120有

122122

0EA244000

244000可得A的两个正交的特征向量

22ξ12,ξ21

12

·115·

1对于39，可得A的特征向量为2

2将特征向量单位化得

221111P12,P21,P32

3331222211则P(P1,P2,P3)212为正交矩阵，31222211正交变换XPY为X212Y.3122

注：因特征向量选择的不同，正交矩阵P不惟一.222

24．已知二次型fx12x2(1k)x32kx1x22x1x3正定，求k.解：二次型的表示矩阵

11kAk20

101k1k20k20由A正定，应有A的各阶顺序主子式全大于0.故 k2，即.2|A|0k(kk2)0解之

1k0.222

25．试问：三元方程3x13x23x32x1x22x1x32x2x3x1x2x30，在三维空间中代表何种几何曲面.222

解：记f3x13x23x32x1x22x1x32x2x3x1x2x3

311x1x1则

f(x1,x2,x3)131x2(1,1,1)x2

113xx33311

设

A131.1132则|EA|(2)(5).故A的特征值为122,35.· ·116

对于122，求得特征向量为

1ξ11,0由Schmidt正交化得

1ξ20.11β11,0121β2.211对于35得特征向量ξ31，标准化得

1111632111P1,P,P23 26321063111263111

令

P(P1,P2,P3)

63221063则在正交变换XPY下

22f2y122y25y33y3

于是f0为

22y122y25(y3323) 102022为椭球面.26．求出二次型f(2x1x2x3)(x12x2x3)(x1x22x3)的标准形及相应的可逆线性变换.解：将括号展开，合并同类项有

·117·

222222

f4x1x2x34x1x24x1x32x2x3x124x2x34x1x22x1x34 2x3x222

x1x24x32x1x24x1x34x2x3

22222

6x16x26x36x1x26x1x36x2x36(x12x2x3x1x2x1x3x2x3)

1132323119x2x3)2x2x3x2x3]6(x1x2x3)2(x2x3)2 2244222211yxx11222x3

令

y2x2x3

yx33111y122x111即

y20x2 y001x33

6[(x1则可逆变换为

1x1x20x03在此可逆线性变换下f的标准形为

112y111y2 01y392y2.2f6y12

27．用初等变换和配方法分别将二次型

222

（1）f1x13x22x44x1x24x1x42x2x4

（2）f22x1x26x2x32x1x3

化成标准形和规范形，并分别写出所作的合同变换和可逆变换.解：先用配方法求解

（1）f1(x14x1x24x1x4)3x22x42x2x4

(x12x22x4)x26x46x2x4(x12x22x4)(x23x4)3x4 222222222y1x12x22x4yx3x224

令



即

yx33y4x4x1y12y24y4xy3y224 xy33x4y4 · ·118

12040103

令

P00100001

则二次型f经可逆线性变换xPy化成标准形f1y12y23y4y1z1z1y1yzzy2222

若再令 

即 y3z3 zy33y3zz3y4444311

令

Q133222则原二次型f1经可逆线性变换xPQz化成规范形f1y1.y2y4x1y1y2

（2）先线性变换x2y1y2

xy33原二次型化成2222

f22(y1y2)6y1y36y2y32y1y32y2y32y12y24y1y38y2y3

222

2(y1y3)22y2 2(y1y3)22(y22y3)26y38y2y32y3z1y1y3y1z1z3110101

令z2y22y3，即y2z22z3.令P1110，P2012

zyyz0010013333则原二次型f2经可逆线性变换xP1P2z化成标准形f22z122z26z3z1w12z1

若再令w22z2

即 z2w6z33z3

2w122w2 26w36·119·

222

令

Q

266则原二次型f2经可逆线性变换xP1P2Qw化成规范形

22.f2w12w2w3

用初等变换法求解

1223

（1）设A00211223

(AE4)00210201

0002***02010002000***0010r22r100c22c1021010r43r20c43c20001000100 01033030103010002100***000***1000 0100 0110r4(2)r101

c4(2)c1000310101r3300

1c3300120200001T4330001010021002100

令

P1，P20010

001034304313033222则原二次型f1经过可逆线性变换xP1y化成标准形f1y1y23y3.二次型经过可逆线性变换xP2z化成规范形f1z1z2z4.· ·120

222T011

（2）设A103

1301100010r3(1)r203010c3(1)c21

(AE3)113000101003360010 0111001

r33r1c33c101010010001021r1r2c1c210000063110063200110

r12(2)r1111c1002(2)c12220 00631110011201

2r121,2c112r2,2c010162220 6r23,6c300162666611T0110T

令 P112210，P11202222311662666则原二次型f2经过可逆线性变换xP1y化成标准形

f2y2122212y26y3

二次型经过可逆线性变换xP2z化成规范形

f2222z1z2z3

28．用三种不同方法化下列二次型为标准形和规范形.（1）f22212x13x24x2x33x3

（2）f22222x1x2x3x42x1x22x1x42x2x32x3x4

解：先用配方法求解

001011 121· · 42522x2x3)3x32x123(x2x3)2x3 333y1x1x1y122

令 y2x2x3

即 x2y2y3

33y3x3x3y31002

令

P01

3001

（1）f12x13(x222则二次型f1经可逆线性变换xPy化成标准形

2f12y123y252y3 32z1y12z12y13z2

若再令 z23y2

即 y2315z15y33yz3335223

令

Q

3155原二次型f1经可逆线性变换xPQz化成规范形

22.f1z12z2z3

（2）f2(x12x1x22x1x4)x2x3x42x2x32x3x4

(x1x2x4)2x32x2x32x3x42x2x4 2

(x1x2x4)2(x3x2x4)2(x22x4)23x4 2222y1x1x2x4yx2x224

令



即

y3x2x3x4y4x4 · ·122

x1y1y2y4xy2y224 x3y2y3y4x4y411010102

令

P0111

0001则二次型f2经可逆线性变换xPy化成标准形

f2y223y22y12y34 z1y1y1z1

若再令 z2y2

即 y2z2zy 3y

33z3z43y4y433z411

令

Q1 33

原二次型fPQz化成规范形f22222经可逆线性变换x2z1z2z3z4.用初等变换法求解

20

（1）设A0032

02320010200100

(AE03)032010r(233)r2c(203001030230013)c25200303110010012

12r112c10100103r1 23c21535r1535c3215150010155 123· · 101

令 P1020300,1TP212000132151500 15522T则原二次型f1经过可逆线性变换xP1y化成标准形f12y13y2222可逆线性变换xP2z化成规范形f1z1.z2z352y3.二次型经过311011110

（2）设A011110111011000111100100

(AE4) 011100101011000110011000100010011110000111r2(1)r1r4r1

c2(1)c101110010c4c101110111100010110110001000100010011110000011r3r2r3r4

c3c201121110c3c400320012010010120110001000100010001110002010r3(2)r2r2r4

c3(2)c200302111c2c400302010010010100110001000020001011r4()r22

00302111 1c4()c2211110000222 · ·124

000100

010001000100

111001000101

1110011011r2c222

110r3c3332r42c40***01233220033000101120

令 P12333

33312202212222fy2y3yy4.f2可则原二次型f2可经可逆线性变换xP化成标准形y212312经可逆线性变换xP2z化成规范形

222 f2z12z2z3z41T0000101

P22311131102220123 32200102T用正交变换法求解

200

（1）f1的矩阵为A032，023200由

|EA|知A的特征值为1,2,5.00322(1)(2)(5)，3100x10x100对11，解022x20，得x2k1，取T11，单位化

1022x0x1330000x10x1112P0xk0P1，对22，解012x，得，取220，220x002013x322

·125· 0x1030对35解022x20，得022x03x100xk1T 取321，单位化得1x13P30022，令 P22222210002，则P为正交阵，经正交变换XPY，222222原二次型f化为fXTAXy1.2y25y311011110

（2）f2的矩阵为

A0111101111011110由

|EA|(1)(3)(1)2

01111011知A的特征值为1,3,1,1.x12101x1011xx12100122, 得

k，取T1对11，解1x3011121x301x1x1012044122112单位化得P1对23，解，01211210210x1010x2021x3012x401, 得 x11x2k1.x311x4 · ·126

121

取

T1122

1单位化得 P21.1212

对341，解

0101x1x1101001x0x0202,得

01011010x3x0xk1k1 312040x4011

取

T300,T41，1001202

再令

P023,P2240 22021122220112

令 P2202112，则P为正交阵，经正交变换XPY，02221122022原二次型f化为

fXTAXy222213y2y3y4.29．判断下列二次型正定，负定还是不定.（1）f22212x26x24x32x1x22x1x3

127· ·

解：二次型f1的矩阵为

121A160

104A的各阶顺序全子式

20,21162110,111160380.04所以二次型f1是负定二次型.2222

（2）f2x13x29x319x42x1x24x1x32x1x46x2x412x3x4

解：二次型f2的矩阵为

11211303 A209613619A的各阶顺序主子式

112111211130310,20，13060，240

13209620913619所以二次型f2是正定二次型.2222

（3）f3x1x214x37x46x1x34x1x44x2x3

解：二次型f3的矩阵为

103012A3214200A的各阶顺序主子式

20 0720330.0710,1031001210，01210，0132143214200103所以二次型f3是不定二次型.222

30．求一可逆线性变换XCY，把二次型f12x15x24x32x1x24x1x3化成 · ·128规范形fy22y211y23，同时也把二次型 f322x222x213x232x1x32x1x34x2x3 化成标准形f2222k1y1k2y2k3y3.解：记f1XTAX，其中

A212150204

200212150091rA2043r1r1r12012E10022 c3c1c12c11112010001201000120000911000r11022162001025r2039r29r2331c23669c21110r34c112229212c2230c301343690010304125266取 P02136，则PTAPE 004记

fT2XBX，其中

129· ·

3012B032

12210021253120266则 BT22032211PBP063 01223651336640043111220212526634422

25242021132636444 1112300341212242312

141321B2 2224其中

B3122132 222显然B都是实对称矩阵，它们的特征值为11,B24倍的关系，特征向量相同.3120(33)12(4)

|EB2|1321(3)2(42)22202(4)4则B2的特征值为0,234，故B1的特征值为0,1,1.以下求B2的特征向量.·130 ·

0112211

对于10，求得α1，单位化后122 1122

对于1α234，求得α21,300

1

由Schmidt标准正交化后得

121212132,

0212111222

令

Q(111,2,3)2122.11202

则Q为正交矩阵，且有

0QTB(PTBP)Q11QQT

112511266121222

令 CPQ121023161222312213004102242于是

QTPTAPQQTEQE

27362131620342131· · 即

CACE

T0CTBC1

1在可逆线性变换XCY下f1y12y2y322.f2y2y3（注：经验算本题所得C是正确的，需要注意的是C并不惟一）

31．求一可逆线性变换XPY，将二次型f化成二次型g.22f2x129x23x38x1x24x1x310x2x3

22g2y123y26y34y1y24y1y38y2y3

42222295，gYTBY，B234

解：fXTAX，A4253246 将A,B分别作合同变换如下：

24220020049501101022r1011rr000A253rr3r132

c22c1 c3c2E100c3c1121121010010011001001001

在可逆线性变换XC1Z下f2z12z2121C1011

0012204012r1026rr3r12c10cc3c111010001

其中

2223B24E10010022在可逆线性变换YC2Z下g2z1z2.· ·132

02204r3r201c3c210001010110000 121111其中

C2012

0011由

ZC2Y得

1XC1ZC1C2Y

12111113611012003令

PC1C201

00100100122在可逆线性变换XPY下fg2z1.z2

32．A是正定矩阵，AB是实对称矩阵，则AB是正定矩阵的充分必要条件是B的特征值全大于零．

证：先证必要性．

设 为B的任一特征值，对应的特征向量为X,则X0, 且有

1BXX

用XA左乘上式有 TXT(AB)XXTAX

因为AB，A都是正定矩阵，故

XT(AB)X0,于是0，即B的特征值全大于零．

再证充分性．

XTAX0

因为A是正定矩阵，所以A合同于单位矩阵，故存在可逆矩阵P，使

PTAPE

（1）

由AB是对称矩阵，知P(AB)P也是实对称矩阵，因此存在正交矩阵Q，使 TQT[PT(AB)P]QDdiag(1,,i,,n)

（2）

即有

(QPA)B(PQ)Ddiag(1,,i,,n)

（3）

其中1,,i,,n是P(AB)P的特征值．

在（1）的两端左乘Q，右乘Q有 TTTTQT(PTAP)QE即(QTPTA)(PQ)E

TT这说明(QPA)与(PQ)互逆，也就是说

(QTPTA)(PQ)1

将上式代入（3），说明矩阵B与对角阵D相似，故它们的特征值相等；由条件知B的特征值全大于零，因此对角阵D的特征值也全大于零． 由（2）知AB与D合同，因此AB的特征值全大于零．

·133·

T

33．设A,B为n阶实正定阵，证明：存在可逆阵P，使PAPE且PTBPdiag(1,2,,n)，其中12n0为|AB|0的n个实根.证：因A正定，故存在可逆矩阵P1，使

TP1AP1E

因B正定，故存在可逆矩阵P2，使

BP2TP2

于是

TTTTP1BP1P1P2P2P1(P2P1)(P2P1)

易见P1BP1为正定矩阵，不妨设它的特征值为 T12n0.TTTT则

|EPBP||PAPPBP||P|111111|AB||P1|

T故

|EP1BP1|0|AB|0 即

12n0为|AB|0的几个实根.由

P1BP1为正定阵，知其为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使

TQT(P1BP1)Qdiag(1,2,,n)T

令

PP，则 1Q

PTAPE,PTBPdiag(1,2,,n)

34．设A为n阶实正定阵，B为n阶实半正定阵，则|AB||A|.证：因为A是n阶正定矩阵，所以存在n阶可逆矩阵C，使得

CTACE.T

因为B是n阶半正定阵，则CBC仍是实对称半正定阵，故存在正交阵Q，使得

Q1(CTBC)QQT(CTBC)QDdiag(1,,i,,n)

其中 i0,i1,n,为CTBC的特征值，且有

QT(CTAC)QE

令PCQ，则P为可逆矩阵，于是

PTAPE,PTBPD

PT(AB)PPTAPPTBPED

上式两端取行列式，得

|P||AB||P||ED|(1i)1|PT||A||P| Ti1n因

|P||P|0，故

|AB||A|.35．设A,B均为实正定阵，证明：方程|AB|0的根全大于0.证：由33题知|EP1BP1|0|AB|0.其中P1BP1为正交矩阵，它的特征值i0，i1,,n，故|AB|0的根全大于0.· ·134TTT

36．设A为n阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B，使AB．

证：因为A是正定矩阵，所以是实对称矩阵，于是存在正交矩阵P，使

212P-1APPTAPD

n其中1,2,,n

令i为A的n个特征值，它们全大于零．

i(i1,2,,n), 则

2111122222D 2nnnn1122TPT

而

APDPPnn1122PTPPT

Pnn12T

令

B=PP

n2显然B为正定矩阵，且AB．

37．设A为n阶可逆实方阵，证明：A可表示为一个正定阵与一正交阵的乘积．

T

证：因为A是n阶可逆实方阵，故AA是正定矩阵，所以存在n阶正定矩阵B，使

ATAB2.于是有

(AB1)T(AB1)(B1)TATAB1(B1)TB2B1E

这说明AB是正交阵.令

ABQ

则

AQB，其中Q是正交矩阵，B是正定矩阵.38．A、B 为n阶正定矩阵，则AB也为n阶正定矩阵的充分必要条件是： AB=BA，即A与B可交换．

·135· 11证：方法一

先证必要性．

由于A、B、AB都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有

ATA,BTB,(AB)TAB

于是

AB(AB)TBTATBA

即A与B可交换．

再证充分性．

由条件AB=BA得

(AB)T(BA)TATBTAB

因此AB是对称矩阵．

因为A,B是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P、Q，使

APTP,BQTQ

于是

ABPTPQTQ

上式左乘Q，右乘Q1得

Q(AB)Q1QPTPQT(PQT)T(PQT)

这说明AB与对称矩阵(PQT)T(PQT)相似；因为PQT是可逆矩阵，故矩阵(PQT)T(PQT)是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零．

综合上述知AB正定．

方法二

必要性同方法一，以下证明充分性．

由条件AB=BA得

(AB)T(BA)TATBTAB

因此AB是对称矩阵．

由于A正定，所以存在可逆矩阵Q，使

A=QQ 于是

TTTT EABEQQBEQQBQ(Q)

T

QTE(QT)1QT(QBQT)(QT)1QTEQBQT(QT)1EQBQTT

EAB0EQBQT0

这说明AB与QBQ有相同的特征值．

因为B是正定矩阵，易见QBQ也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零．

· ·136

T综合上述知AB正定．

39．设A、B为实对称矩阵，且A为正定矩阵，证明：AB的特征值全是实数．

证：因为A是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q，使AQTQ，于是有

EABEQTQBEQT(QBQT)(QT)1QEQBQ(Q)即|EAB|0|EQBQT|0.TTTT1EQBQT

因为B是实对称矩阵，所以QBQ也是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，故AB的特征值也都是实数．

40．设A是正定矩阵，B是实反对称矩阵，则AB的特征值的实部为零．

证：因为A是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q，使AQTQ

EABEQTQBEQT(QBQT)(QT)1QEQBQ(Q)AB的特征值实部也为零．

TTT1EQBQT

因为B是实反对称矩阵，所以QBQT也是实反对称矩阵，因此它的特征值实部为零，故

41．设A是正定矩阵，B是半正定的实对称矩阵，则AB的特征值是非负的实数．

证：由于A是正定的，所以A也是正定的，于是存在可逆矩阵P，使得A因此

11PTP，EABAA1BAPTPBAPTE(PT)1BP1P APTPE(PT)1BP1AA1E(PT)1BP1E(PT)1BP1E(P1)TBP1

1T1即EAB0E(P)BP0.由于B是半正定的实对称矩阵，故(P)BP1T1是半正定的实对称矩阵，因此E(P1)TBP10的根是非负实数．于是EAB0的根也是非负实数，即AB的特征值是非负的实数．

42．求证实二次型f(x1,,xn)

证：二次型的矩阵为

(krsrs)xx的秩和符号差与k无关．

rsr1s1nn2k33k4k22k34k46k56k59k6A3k4nk(n1)2nk(n2)3nk(n3)

nk(n1)2nk(n2)3nk(n3)

2nk2n·137·

对矩阵A作合同变换，即把A的第1行的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n行上；同时把A的第1列的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n列上，得到与矩阵A合同的矩阵B为

2(n1)0000

00k2,2,(n1)倍依次加到第1，3，对矩阵B作合同变换，即把B的第2行的2k2,2,(n1)倍依次加到第1，3，4，…，n4，…，n行上；同时把B的第2列的2列上，得到与矩阵B合同的矩阵C为 k21B2(n1)100001C0010000000000

0由合同变换的传递性，故A与C合同，于是原二次型可经可逆线性变换化简成f(x1,,xn)2y1y2

y1z1z2再作可逆线性变换

y2z1z2yzii于是二次型f化成规范形

(i3,,n)2 f(x1,,xn)2z122z

2显然二次型f(x1,,xn)的秩为2，符号差为0，它们的值均与k无关．

43．设二次型fa时，二次型f正定．

证：二次型 f的矩阵A的各阶顺序主子式的值与它的阶数n的奇偶性有关：

（1）当n=2m+1时，二次型f的矩阵为 xi1n2ibini1xxinni1，其中a、b为实数，问a、b满足什么条件

baabAa

baba · ·138它的各阶顺序主子式为

a,,am1,am(a2b2),am1(a2b2)2,,a(a2b2)m

（2）当n=2m时，二次型f的矩阵为

baab Ababa它的各阶顺序主子式为

a,,am,am1(a2b2),am2(a2b2)2,,(a2b2)m

综合（1），（2）可知：当a0且a2b2时，二次型f是正定的．

44．设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n,Aij是A(aij)nn中元素aij的代数余子式

nnAijxixj(i,j1,2,,n)，二次型f(x1,x2,,xn)i1j1A1

（1）记X(x1,x2,,xn)T，把f(x1,x2,,xn)写成矩阵形式，并证明二次型f（X）的矩阵为A．

（2）二次型g(X)XAX与f(X)的规范形是否相同？说明理由．

证：方法一

（1）因为A是实对称矩阵，故AijTAji．由r(A)=n, 故A可逆，且

A11*A A二次型f(x1,x2,,xn)的矩阵形式为

A11A21An1x11AAAn2x2f(X)(x1,x2,,xn)1222

AAAAxnnn1n2n111TT11从而(A)(A)A.故A也是实对称矩阵，因此二次型f(X)的矩阵为A．

11T1T11

（2）因为(A)AA(A)EA，所以A与A合同，于是二次型g(X)XTAX与f(X)有相同的规范形．

方法二

（1）同证法１

（2）对二次型g(X)XAX作可逆线性变换，XAY, 其中

T1Y(y1,y2,,yn)T,则

T1T1T11TT11

g(X)XAX(AY)A(AY)=Y(A)AAY=Y(A)AAY=YAY

T1由此可知A与A合同，二次型g(X)XAX与f(X)有相同的规范形．

·139· 1T

45．试说明二次型

f(x1,x2,x3)(x1x2x3)2[ax1(ad1)x2(a2d1)x3]2

+n[(ad)xii22 (a2d)x(a3d)x]1i2i3当d10时，无论n为何值，f(x1,x2,x3)的秩均为2．

解：fXT(ATA)X，其中

1aAad2adn1ad1a2d2a2dn1a2d1a3d2

a3dn1110d12d1行对矩阵A作行的初等变换，可得A000.000

所以当d10时，A的秩为2，这与n的取值无关，因此二次型f的秩为2．

46．已知A是n阶正定矩阵，令二次型f(x1,x2,,xn)XTAXxn的矩阵为B，求证：（1）B是正定矩阵；（2）BA．

证：（1）设

a11aA21an1a11a21则

Ban1a12a1na22a2n，aijaji an2anna12a1na22a2n

an2ann1

显然B为实对称矩阵，且B与A的前n-1阶顺序主子式完全相同，由于A是正定矩阵，故它的各阶顺序主子式全大于零，因此B的前n-1阶顺序主子式也全大于零． 现考虑B的第n阶顺序主子式即它的行列式，有

a11a

B21an1可见B是正定矩阵．

· ·140a12a1na11a1n1a22a2n+

an11an1n1an2annan1ann10=AAn10

（*）01

（2）由（*）即知BA．

47．设n元实二次型fXTAX，1,2,,n 是A的特征值，且12n． 证明：对于任一实维列向量X有1XTXXTAXnXTX.证：设1,2,,n是f的特征值，则存在正交变换X=PY，使fXTAXYT(PTAP)Y1y122y2nyn

由已知条件12n，有

1YTYfXTAXnYTY

（1）

又因为P是正交矩阵，于是有

XTXYTPTPYYTY

将此结果代入（1）即为

1XTXXTAXnXTX

48．证明：若二次型ai1i1nnijxixjXTAX是正定二次型，则

a11a21f(y1,y2,,yn)an1y1是负定二次型．

a12a22an2y2a1na2nannyny1y2 yn0

证：因为f 是正定二次型，故它的表示矩阵A是正定矩阵，因此A是可逆矩阵，作可逆线性变换Y=AZ．对上述行列式的列作消法变换，将第j列的-zj(j1,2,,n)倍加入第n+1列，其中Z(z1,z2,,zn)T,则

a11a21

f(y1,y2,,yn)an1y1a12a22an2y2a1na2nannyny1a11y2a21ynan10y1a12a22an2y2a1n0a2n0 ann0yn(y1z1y2z2ynzn)TTTT

A(y1z1y2z2ynzn)=AYZ=AZAZ=AZAZ 因为A是正定矩阵，所以A

49．设A是正定矩阵，则

（1）AannAn1，其中An1是A的n-1阶顺序主子式；

（2）Aa11a22ann．

解：（1）因为A是正定矩阵，故

·141·

a11a12a1n1a21a22a2n1An1

aaan1n1n11n12也是正定矩阵，于是由48题知

a11a1n1y1 fn1(y1,y2,,yn1)=

an11an1n1yn1y1yn10是负定二次型，因此由行列式的加法运算有

a11a1n1a1na11a1n1Aan11an1n1an1nan11an1n1an1ann10an1ann1其中An1为A的顺序主子式．

0fn1(a1n,a2n,,an1n)annAn1 0ann当a1n,a2n,,an1n中至少有一个不为零时，fn1(a1n,a2n,,an1n)

A

当a1na2nan1n0 时，则|A|ann|An1|.总之有AannAn1.（2）：由（1）得  AannAn1annan1n1An2annan1n1a22a11

50．设P(pij)nn是n阶可逆矩阵，求证：P222(p12jp2jpnj).j1np11p21pn1pppp1222n2p

证：PTPppp2nnnpn1nTpp211pn11pnpn22p2nn12n2pi1i112*pi1n2i*2

n2pini1

因为P是可逆矩阵，故PP是正定矩阵，由49题的结论（2），有

22PP(p)(p12jp2jpnj)T2ijj1i1j12nnn显然 PPP，所以有PT222(p12jp2jpnj).j1n · ·142