《应用数学基础》考试题_应用数学基础习题集

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《应用数学基础》考试题（2010.1.11）

学院姓名学号

一、填空题（103分=30分；直接将答案写在答题纸上，注意写清楚题号）1.若zz，则Re(z)；2.i3.i

z

2010

|z|1

z4i

Res[；4.zsin

z,0]；

5.函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在zxiy可导，则f(z)； 6.sinz(z1)

|z|2

7.；3

ziz1

在z0展成泰勒级数的收敛域为；8.wez

将直线x1映射成；9.傅氏变换F[f(t)]F()，则F[f(at)]；其中a为非零常数；10.拉氏变换L[t3]。

二、计算题（106分=60分；要求写出主要计算步骤）

1.求a,b,c的值，使f(z)x2axyby2i(cx22xyy2)在复平面上处处解析；2.求将

2z1z(z1)

dz，沿正向；3.把

z(1z)

展成z的幂级数，并指出收敛域；4.|z|2

e

z

z(z1)

在0|z|1展成洛朗级数（写出前四项）；5.求1

(zi)(z1)(z3)

coszz

z

|z|1，沿



正向；6.求|z|2，沿正向；7.用留数计算

4x

xsinx

；8.求

共形映射，将Im(z)0映成|w|1，且满足w(i)0,argw(i)0；9.用傅氏变换，求解y(t)y(t)2(t)0,t（注：F1[10.用留数方法，求拉氏变换F(s)

1s(s1)

a1

]

a2

e

|t|,a0）；的逆变换。

三、证明题（25分=10分；任选其中两题）

1.利用复数的几何意义证明：三角形内角和等于；2.Imzsinze

Imz；

3.设函数f(z)在z1上解析，且f(z)1，试证：f(0)1，进一步证明，这个结论是最优的；4.设z0是函数p(z)的k级零点，且是q(z)的k1级零点（k0是整数），令f(z)

p(z)

q(z)，试证：Resf(z),z0

(k1)p

(k)

(z0)

q

(k1)

(z0)。