高中数学教学随笔_10月高中数学教学随笔

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“恒成立”“能成立”“恰成立”问题

“恒成立”“能成立”“恰成立”问题在教材中虽然没有专门设计，但这些内容是高中内容的重点、难点，同时也是高考和数学竞赛的热点，又因为它们的解法多样，所以这三类问题考生容易混淆不清，笔者认为分离变量法和函数法具有思路清、操作强、易掌握等特点，所以在解决“恒成立”“能成立”“恰成立”问题是很好的方法。

一、“恒成立”问题 例

1、设函数f(x)x21，对任意x,，f(成立，则实数m的取值范围是。

【解析】(分离变量法)

32x)4m2f(x)f(x1)4f(m)恒mx232222依据题意得214m(x1)(x1)14(m1)在x,上恒定成m2立，即132324m1在x,上恒成立。22xmx23325152时函数y21取得最小值，所以24m，2xx3m3当x即(3m21)(4m23)0，解得m另解（函数法）：

33或m。22x232222依据题意得214m(x1)(x1)14(m1)在x,上恒定成立，m2即3213214m0在x,上恒成立。22xxm2112222,则t0, ∴3t2t14m20在t0,上恒成立，令xm331 m2令tg(t)3t22t14m223∴g(0)0且g()0

∴得m33或m 22【温馨提示1】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题的第一种解法是利用分离变量转化为最值的方法求解，即对原有不等式通过分离变量的方法分离出变量式使其成为f(m)g(x)，然后解g(x)这个函数的最小值得g(x)k（或g(x)k），所以f(m)k，若对原有不等式通过分离变量的方法他离出变量式使其成为f(m)g(x)，然后解g(x)这个函数的最小值得g(x)k或g(x)k，所以f(m)k（或f(m)k），其基本步骤：分离变量，构造函数，求最值。同学们可以类比得出若通过分离变量的方法分离出变量式使其成为f(m)g(x)或f(m)g(x)的结论。解决恒成立问题的第二种解法是函数法，即通过构造函数，再利用函数的特性分析解决问题，此例充分体现了分离变量的优越性，显然要比函数法简单且不易出错。

变式引深：若函数f(x)x46x2(3a)x在0,2上为增函数，求a的取值范围。解：∵f'(x)4x312x(3a)

∴f'(x)4x312x(3a)0在0,2上恒成立，即a34x12x在0,2上恒成立 3令g(x)4x312x，∴g'(x)12x2120，x1 ∴g(x)可能的最小值为g(0)、g(1)、g(2)

a3g(0)a30∴

a3g(1)

即a38

∴a11

a3g(2)a38【温馨提示2】若此类问题分离变量后（见温馨提示1），g(x)的最值难以确定，我们只须分析g(x)可能的最值就可以了。

例

2、已知函数f(x)(x1)lnxx1，若xf(x)t2at121对任意ex0,a1,1恒成立，求实数的取值范围。

x11lnx1lnx，xf(x)xlnx1 xx1利用导数易得xf(x)xlnx1的最小值是1

e112∴t2at11在a1,1上恒成立

ee解：f(x)∴t2at0在a1,1上恒成立 2令g(a)t2at2tat在a1,1上小于等于零恒成立 222g(1)02tt0∴即∴t0 2g(1)02tt0【温馨提示3】若分离变量不容易时，应选择函数法求解。

二、“能成立”问题

例

3、设x0，y0，若不等式什么？

解：分离变量得：(xy)(110能成立，则实数的取值范围是xyxy1x1xy)24，∴4即4 yyx【温馨提示4】此例为不等式能成立问题，解决此问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解，即对原有不等式通过分离变量的方法分离出变量式使其成为f(m)g(x)，然后解g(x)这个函数的最大值得g(x)k（或g(x)k），所以f(m)k，同学们可以类比得出f(m)g(x)或 f(m)g(x)或f(m)g(x)的结论。

变式引深：若关于x的方程4x(4a)2x40能成立，求实数a的取值范围。解（分离变量法）：∵关于x的方程4x(4a)2x40能成立 ∴(4a)2x44 2x∴(4a)4 ∴a8

另解（函数法）：设2t,则t＞0 ∴t(4a)t40在（0，+∞）上能成立，2令g(t)t(4a)t4，又因为yg(t)无零根也无一正一负根 2x(4a)2160(4a)2160∴或

t0(4a)0∴a8

【温馨提示5】此例是方程能成立问题，若能通过适当的变形，使其成为f(m)g(x)的形式，则f(m)属于g(x)的值域，此法充分体现了分离变量的优越性，显然要比函数法简单且不易出错，不过当分离变量不容易时，应选择函数法求解。

三、“恰成立”问题

例

4、函数f(x)mx2x1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围。

2解（分离变量法）：由f(x)0分离变量得m()即ym与y()∴m1或m0

1x22，x1x22在(0,)上有且仅有一个交点 x另解（函数法）：∵f(x)mx22x1有且仅有一个正实数的零点，∴f(x)mx22x1的图像与x轴正半轴有且仅有一个交点

当m=0时合题意

当m0时，有4-4m=0,即m=1合题意

当m0时依据函数的图像得m0合题意 综合得m1或m0

【温馨提示6】此例为方程恰成立问题，解决恰成立问题通常可以利用分离变量转化为函数与方程的方法求解，即对原有不等式通过分离变量的方法分离出变量式使其成为f(m)g(x)，然后讨论函数y=f(m),yg(x)的交点的个数。解决恰成立问题也可用函数法求解，此例分离变量法简单。

变式引深2：若只有一个实数x满足不等式x2ax2a0，求实数a的取值范围。解：要使只有一个实数x满足不等式x2ax2a0

即求抛物线yx22ax2a在x轴和x轴下方只有一个点 ∴△=4a8a0

∴a0或a2

【温馨提示7】此例也为不等式恰成立问题，解决不等式恰成立问题通常可以利用分离变量转化为函数与不等式的方法求解，即对原有不等式通过分离变量的方法分离出变量式使其成为f(m)g(x)，然后讨论函数y=f(m),yg(x)在图像上规定区域交点的个数。“恒成立”“能成立”“恰成立”问题通过以上实例可以看出分离变量法和函数法是基本的方法，又因分离变量法 容易掌握，因此分离变量法因优先考虑，其次广大读者要认真类比三类问题，不可混淆。222