4中心极限定理_极限中心定理发展

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大数定律与中心极限定理应用

教程

一：复习

1、大数律定义与主要结论

2、大数律模拟计算定积分

3、特征函数定义

4、由特征函数求期望与方差公式

X(t)t0EeitX'

t0EeitXt0EiXeitXt0iEX，因此

EXiX(t)t0 '

X(t)EeitXEeitXE(iX)2eitXEX2eitX，令t0得到 X(t)

t0EX2，因此EX2X(t) t0

Var(X)EX(EX)X(t)X(t)

t0t022

2注：

若随机变量有EX，Var(X)2，那么iX(t)t0得到 '

X(t)t0i，X(t)X(t)2X(t)2因此

t0t0t022'

X(t)

t022

又因为 (t)(0)(0)t(0)

2t2ot2，此时可得

(t)1it22

2t2ot2

特别地，随机变量标准化以后随机变

量*的特征函数*(t)1t2o(t2)

二、Lindeberg-Levvy中心极限定理的证明 1

2假定随机变量序列Xi,i1,2,...独立同分布，有共同的期望EXi，方差Var(Xi)

2，令YnX1Xn的标准化随机变量，则Y

tEenitYnEeEeXnX1



Ee

k1nX

Ee

n

Xn11(t/2o(t/2 2n2nt222tt1n2~1(t/1e2N0,1(t)22nt22

由此我们得到Lindeberg-Levy中心极限定理：

随机变量序列Xi,i1,2,独..立同分布，有共同的期望EXi，方差

Var(Xi)，2XXEXXLN0,1，等价地，对xR，XXEXXnPxx 

三、应用两个例题

1：某学生英语四级考试按照总分100折算考了58分，问，同等难度的题目重考，能及格的概率多大？

2：某大型社区附近有9个茶吧，该地区一般的时候平均总有消费者大约4000人，某人准备在该社区也建一个茶吧，问应该准备多少座位，使得客满导致顾客流失的概率不超过5％。3：二项分布b(n,p)在n很大时的正态近似

四、作业

1：P250 17

2：大数定律应用，若独立同分布随机变量序列Xi,i

1,2,...的共同分布为U(1,2)，查资料X1Xnn分别依概率收敛到哪些数，为什么？ 111nX1X2Xn