变量分离法解不等式_含参不等式分离变量法

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学科高中数学

利用“变量分解”证明不等式

王亮

浦江县第三中学 322200

［摘要］不等式教学和课外活动辅导中，我们了解到，多数同学对单纯的不等式求解的内容都比较容易理解和掌握，但对不等式的证明，学生便感到有些困难。在这，我们结合变量分离法来介绍证明不等式的一种方法——“变量分解法”，让学生更深刻了解和掌握不等式的证明

［关键词］不等式 证明 变量代换 变量分解 思想方法 数学学习 数学题

不等式的证明问题是高考自选选修模块中的一个热点，因为它涉及的知识面广，综合性强，数学语言抽象，如何从课本提取所要借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，学生上课时能听得懂，但是解决时却又容易出错。其实不等式的证明方法有很多，如换元法、数形结合、代换、分类等，证明中会用到许多思想方法，这些都贯穿了数学学习的全过程。一些是在实数集上的一元二次不等式的恒成立问题，我们借助对应的二次函数图像，即数形结合思想，解决该问题较为容易。之外，我们还可以通过求最值、变量分离的方法解决此类问题。不等式教学和课外活动辅导中，我们了解到，多数同学对单纯的不等式求解的内容都比较容易理解和掌握，但对不等式的证明，学生便感到有些困难。在这，我们结合变量分离法来介绍证明不等式的一种方法——“变量分解法”，让学生更深刻了解和掌握不等式的证明。

狭义的变量分离法是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知。解决问题的关键在于变量分离之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题。高考复习中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,可使得做题的正确率大大提高。

“变量分解法”的根本目的在于变量的分解，在不等式证明题中，当有多个变量时，通过变量分解来达到化简不等式，使原不等式转化为更适合利用不等式的性质，借助基本不等式或其他知识点来证明，这样不仅能提高学生的解题能力，而且能训练学生的思维。下面就举例说明“变量分解”在证明不等式中的几种常

见的形式。

一、变量=常量+变量

1例1：已知xyz1，求证：x2y2z2.3111证明：令x，y，z.333

则xyz1，0.11111x2y2z2()2()2()2(222).33333

a1练习1：设a1时，求证：11.n

证明：a1,1a1da1d，d0,22nna(1d)n1ndCndCnd1nd

da1 n

a1 n1a1

二、变量=（大）变量+（小）变量

anbnabn().(nN,n2).例2：设ab0.2

2证明：令sabab,d,则asd,bsd,d0 22

anbn1(sd)n(sd)n22abn0n2n220n2n220nCnsCnsdCnsCnsdCnssn().2

1110.练习2：设abcabbcca

分析：abc，令xab0,ybc0,则abx,bcy,a-cxy.111x2xyy2

左边0.xyxyxy(xy)

三、变量=常量×变量

例3：已知a22ab2b22，求证：ab.证明：a22ab2b22，(ab)2b22.令ab2cos,b2sin,(02)

则ab(ab)2b2cos22sincos().练习3：已知f(x)axb,2a26b23，求证：当x1,1f(x)2.分析：令a31cos,bsin,(02).2

2四、变量=变量×变量

114例4：已知abc0.abbcca

证明:(ab)(bc)ac,令ab(ac)cos2,bc(ac)sin2.sec2csc24sec2csc242tan2cot24左边0.acacacacac

练习4：已知a、b、cR,求证：a3b3c33abc.思考题：

1.已知a、b、cR，且a2b3c6.求证：a22b23c26.112.设x、yR，xy1.证明：（1）(1)9.xy

abc.3.设a、b、c为△ABC1a1b1c

4.设a、b、c为△ABC的三边，求证：abc(bca)(cab)(abc).高中阶段中，很多题目都需要用到分离变量的思想，大多数是两个变量，而且有多种解法，通过学生作业的反映情况来看,分离变量是比较容易掌握的一种方法，文章简单的分析了其易于掌握的原因。除了基础题目可以使用分离变量，很多压轴题也开始涉及这个方面，这使得对分离变量这个方法的深入思考得以进行，在此借助“变量分解”证明不等式，旨在希望学生能够理解地更深刻，掌握运用地更自如，达到熟能生巧，能举一反三。

参考文献

【1】沈燕，《利用变量代换证明不等式》，《数学教学通讯 》 2002年第9期

【2】熊福州，《例谈分离变量是基本通法》，《河北理科教学研究》 2011年第6期

【3】李剑锋，《变量代换法证明不等式》，《高中数学教与学》2011年第11期