浅谈中心极限定理及其应用 论文_中心极限定理论文

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浅谈中心极限定理及其应用

李月20091103558

数学科学学院信息与计算科学09信息一班

指导老师韩文忠

摘要：概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。本文主要叙述中心极限定理在现实中的应用。关键字：中心极限定理 随机变量 正态分布

1.定理一（独立同分布的中心极限定理）设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独

立，服从同一分布，且具有数学期望和方差，E(Xk)，n

D(Xk)=

>0(k=1,2,3),则随机变量之和Xk的标准化变量

k1

n

n

n

X

k

E(Xk)

k1n



=

k1

X

K

n

Yn=

k1

D(Xk)

k1

n的分布函数Fn(x)对于任意x满足

n

x

limFn(x)=limFn(x)=limP{

n

k

n

x

k1

n

}=

x

12



t

dt= (x).这就是说，均值为，方差为20 的独立同分布的随机变量

n

X1,X2,…,Xn之和Xk的标准化变量，当n充分大时，有

k1

n



k1

X

n

n

n

～N(0,1)

1．1：一加法器同时接收20个噪声电压Vk（k=1,2,3，20),设它们是相互独

立的随机变量，且都在区间（0,10）上服从均匀分布，记V

P{V105}的近似值。

V，求

k

k1

解：易知E(Vk)5,D(Vk)100/12（k=1,2,3，20)，由定理一，随机

变量Z

V

K1

k

=

V205

近似服从正态分布N(0,1),于是

P{V105}P{

V20520

10520520

V20520

0.387}

1P{

V20520

0.387}

1



0.387

12



t

dt1(0.387)0.384.即有P{V105}0.34

2．（李雅谱诺夫（Lyapunov）定理）设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，它们具有数学期望和方差

0,k1,2,E(Xk),D(XK)K

nn

记k

k1

.k

k1

若存在正数，使得当n时，n

1B

2n

n



k1

E{Xkk

2

}0,则随机变量之和Xk的标准化变量

k1

nnnn



Zn

k1

X

k

E(Xk)

k1n





k1

X

k

Bn



k1

X

k

D(Xk)

k1

n

n

的分布函数limFn(x)limP{

n

n

k1

X

k

Bn



k1

k

x}





x

12

t

dt= (x).

此定理表明，在定理的条件下，随机变量

n

n

k

X

Zn

k1

Bn

X

k1

k

当n很大时，近似的服从正态分布

n

n

N(0,1),由此，当n很大，n



k1

X

k

BnZn



k1

k

近似的服从正态分布

N(k,Bn)

k1

.这就是说，无论各个随机变量

n

Xk(k1,2)

服从什么分布，只要满足定理的条件，那么它们的和k1



X

k

当n很大时就近似地服从正态

分布，在很多问题中所考虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和。请看下面的例子。

2.1：设有一条河流经某城市，河上有一座桥，该桥的强度服从正态分布

N(300,40)(强度的单位是t（吨)）。有很多车要经过此桥，如果各车的平

均重量是5t，方差是2t2。问：为保证此桥不出问题的概率（安全度）不小于0.99997.最多允许在桥上同时出现多少车辆？

解：用Y表示该桥的强度，若有M辆车在桥上，第i辆车的重量Xi

M

（i1,2M),则M辆车的总重量SM



i1

Xi，我们可以认为

Y,X1,X2XM是相互独立的，E(Xi)5,var(Xi)2，该桥不出现问

题的概率为

RP(M辆车的总重量不超过桥的强度）。

显然RP(SMY)RP(SMY0),我们要找满足不等式

R0.99997的最大的M,不难想到，这个M,由于

SM)

E(SM

=，M1,var(=

M1

（这里

1E(Xi)5

1var(Xi)2,i1,2M),由定理可知SM近似的服从

N(M1,M1)

.又N

(300,40),可知SMY

近似服从

N(M1300,M1240),于是

R[

0(M1300)

M

]

40

由于(4)=0.99997，故为了R0.99997，必须且只需

令x

0(M1300)

M

2M40

4

40

(x40)，上述不等式化为，则M

x4x4000

((11.87)400))

由此知x11.87，从而M=50.就是说，最多允许50辆车

同时在桥上。

下面介绍另一个中心极限定理，它是定理一的特殊情况。

3．(棣莫弗-拉普拉斯（De Moirve-Laplace）定理)设随机变量（n1,2,)服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则对于任意x，有limP{

n

npnp(1p)

x}=

x

12

t

dt=(x)。



这个定理表明，二项分布的极限分布式正态分布

n

Xk～N(np,npq)当n充分大时，服从二项分布的随机变量的概

k1

率计算可以转化为正态随机变量的概率计算。

3.1 ：对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学

生无家长，1名家长，2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15，若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长人数相互独立且服从同一分布。(1)求参加会议的家长人数x超过450的概率：

(2)求有1名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率。

解（1）以Xk(k1,2,400)记第k个学生来参加会议的家长人数，则Xk的分布率为

400

易知E(Xk)1.1，D(Xk)0.19，k1,2400.而X随机变量

400

X。由定理一

k

k1

X

k1

k

4001.1

0.19



X4001.1400

0.19

400

近似服从正态分布N(0,1),于是

P{X450

}=P{

X4001.1400

0.19



4504001.1400

0.19

=1-P{

X4001.1400

0.19

1.147}

1(1.147)0.1251’

(3)以Y记有一名家长参加会议的学生人数，则Y～b(400,0.8)，由定理三

P{Y340}

=P{

Y4000.84000.80.2Y4000.84000.80.2



3404000.84000.80.2

}

=P{2.5}(2.5)=0.9938

小结 中心极限定理表明，在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数不断增加时，其和态分布趋于正态分布，这一事实阐明了正态分布的重要性，也揭示了为什么在实际应用中会经常用到正态分布，也就揭示了产生正态分布变量的源泉，另一方面，它提供了独立同分布变量随机变量之和Xk（其中Xk的方

k1

n

差存在的近似分布，只要和式中加项的个数充分大，就可以不必考虑和式中的随机变量服从什么分布。都可以用正态分布来近似，这在应用上是有效和重要的。

参考文献

[1] 盛骤概率论与数理统计，高等教育出版社，2006 [2] 陈家鼎 郑中国概率与统计 高等教育出版社 2004