第4讲：构造特殊图形问题_第四讲基本图形生成

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构造特殊图形问题

问题引入——在四面体ABCD中，AB=1,CD=

600，则四面体ABCD的体积等于（）

A.32

3,直线AB与CD的距离为2，夹角为

B.C.D.3

3错因回放——许多做错的学生的主要原因是无从下手，条件不知道怎么用；还有一部分

同学想到了构造一个四面体，但是没有特殊化；还有的就是计算失误马虎了。

分析：我们很容易看到本题的突出特点就是满足题意的四面体不唯一，而答案却是唯一的，对这种题型我们往往采取特殊化的方法，即取一个特殊的四面体来求解（特殊代一般的思想）。

知识背景——这是一道以四面体为载体，综合考查公垂线、异面直线所成角和四面体体

积求法的试题，同时考查特殊代一般的思想和转化的技巧，有一定难度。

正确解答：如图

根据题意，可以先构造

特殊四面体，BC为AB和CD的公垂线,则AB1,CD，我们进一步补形，方

.VABCD

1332

3,BC2,AB与CD成角为60.为了比较容易计算面积作BE//CD,连接DE,SBCD



法一：3

3,作AFBE,AF

12

.方法二：补形为直三棱11

132

3sin602

柱ABECDF.VABCDVABDEVDABE12.故选B.13

VABECDF

相关练习——（1）P是二面角α

-AB-β棱上的一点，分别在平面上引射线PM,PN，如

果∠BPM=∠BPN=450, ∠MPN=600，那么二面角α-AB-β的大小为。（2）在正三棱锥S-ABC中,M,N分别是SC,BC的中点,若侧棱长SA=23, MN⊥AM，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（）

A.12πB.32πC.36πD.48π

练习答案：（1）900；（2）C。