平行四边形的判定方法(五种)_平行四边形的判定方法

平行四边形的判定方法(五种)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“平行四边形的判定方法”。

在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O。请从下列所给条件中，任意添加两个条件，使四边形ABCD 是平行四边形。并说明理由。

（1）AB//CD(2)AD//BC(3)AB=CD(4)AD=BC(5)

先独立思考，然后小组合作，交流，共同探索，得出结论:

(1)(2),(1)(3),(1)(5),(1)(6),(1)(7),(1)(8),(2)(4),(2)(5),(2)(6),(2)(7),(2)(8),(3)(4),(5)(6),(7)(8).其中，（1）（2）是由平行四边形的定义得出的，这一个不用证明。13如何证明呢?

请画图，分析，已知，AB//CD,AB=CD,想证明它是一个平行四边形，只须证明另一组对边平行即可。证明两条直线平行，就要找角的关系。那么在这一个图形中有需要的角吗?可以如何构造角呢?这时候只要连接一条对角线即可。如图所示:连结AC，若想得到AD//BC,只需

证明：因为AB//CD 所以

又 AB=CD AC=AC

所以 三角形ABC全等于三角形CDA，所以

所以 AD//BC

所以 四边形ABCD是平行四边形。

那么，(2)(4)和(1)(3)的情况一样吗?

由此我们知道了，只要满足这样的两个条件，就可以推出四边形是平行四边形。谁能够用一句话把这一结论表述出来?

有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

我们证明了(1)(3)，(2)(4)的情况，有同学说，满足(3)(4)两个条件的，也是平行四边形.我们来看一下，能否证明出来。知道AB=CD,AD=BC，如何得到AB//CD,AD//BC呢?由上面证明得出经验，只要三角形ABC和三角形CDA全等，就会出现两组内错角相等，也就有两组对边平行了，问题得解。那么，如何全等呢，由上图可知，连结AC后，则，两个三角形对应三边相等，因此全等。证明过程略。这一结论，谁能用语言表述出来呢?

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（5)（6）怎样证明呢?想要两组对边平行，除了内错角相等之外，还有同旁内角互补，两直线平行。如图，由四边形内角和是360度可知，

证明:在四边形ABCD中，

因为

所以，2

所以

所以 AD//BC

同理 AB//CD

所以 四边形ABCD是平行四边形

由此我们知道，只要满足这两个条件时的四边形也是平行四边形。请一个同学用一句话把这个结论表述出来:

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

(7)(8)又怎样证明呢?

分析:很明显，OA=OC,OB=OD,对顶角

证明:在三角形AOB和三角形COD中

因为OA=OC

所以 三角形AOB全等于三角形COD

所以

所以 AB//CD

同理可得，AD//BC

所以 四边形ABCD是平行四边形。

用语言来表述这一结论就是:对角线互相平分的四边形是平行四边形。

我们再看(1)（5)，(1)(6)，(2)(5)，(2)(6)的两个条件有没有相同之处，答案是肯定的，所以，我们只要证出

(1)(5)成立，(1)(6)，(2)(5)，(2)(6)就也是成立的。所以，我们以(1)(5)为代表证明。

证明：因为 AB//CD

所以

因为

所以

所以 AD//BC

所以 四边形ABCD是平行四边形。

一组对边平行和一组对角相等的四边形是平行四边形。

我们再看(1)(7)，(1)(8)，(2)(7)，(2)(8)它们的两个条件也是类似的，我们只需要证出(1)(7)如果成立，那么其他几个就也是成立的。如图所示

证明:因为AB//CD 所以

在三角形AOB和三角形COD中：

有

所以 三角形AOB全等于三角形COD

所以 OB=OD

在三角形BOC和三角形DOA中：

有 OB=OD

所以 三角形BOC全等于三角形DOA

所以

所以 AD//BC

所以 四边形ABCD是平行四边形。

这一结论用语言来表述就是:一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。通过上面严格的推理证明，同学们所找出的两个条件都是正确的。由此我们也知道了只要满足上述两个条件的四边形就是平行四边形，我们把上述的前四句语言表述作为平行四边形的判定定理:

(1)有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形

(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。