届高考数学大一轮复习(高考题库)第3章 第6节 简单的三角恒等变换 理 新人教A版_高考数学大一轮复习

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2009~2013年高考真题备选题库第三章三角函数、解三角形第六节简单的三角恒等变换考 点三角恒等变换

πx－，x∈R.1．（2013广东，12分）已知函数f(x)＝2cos12

π(1)求f3的值；

3ππ32π，求fθ－.(2)若cos θθ∈265

解：本题主要考查函数与三角函数的基础知识与运算、同角三角函数关系、特殊三角函数值、两角和与差的三角函数．在考查基础知识的同时突出基本运算能力，与2012年三角题相比较，试卷结构稳定，涉及求值知识点，稳定平和中有亮点，为高考复习作出了较好的方向指向．

ππ－π2cosπ2×21.(1)f＝2cos331242

3π3，2π，(2)∵cos θ＝，θ∈25

4∴sin θ＜0，sin θ＝－1－cosθ5

ππππθ－＝2cosθ－2cosθ＝ 故f66124ππ3412cos θcos＋sin θsin2cos θ×sin θ×＝cos θ＋sin θ＝＝－ 24455522

ACcosB2．(2010天津，12分)在△ABC中，.ABcosC

(1)证明B＝C；

1π(2)若cosA＝－sin(4B＋)的值． 33

sinBcosB解：(1)证明：在△ABC.于是sinBcosC－cosBsinCsinCcosC

＝0，即sin(B－C)＝0，因为－π＜B－C＜π，从而B－C＝0.所以B＝C.1(2)由A＋B＋C＝π和(1)得A＝π－2B，故cos2B＝－cos(π－2B)＝－cosA3

22又0＜2B＜π，于是sin2B＝1－cos2B＝3

从而sin4B＝2sin2Bcos2B＝47cos4B＝cos22B－sin22B＝－99

πππ所以sin(4B＝sin4Bcoscos4Bsin 333

＝

42－3

.18

3．(2009·广东，12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，π． 2

(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－φ)＝解：(1)∵a⊥b，∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ.1

∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝.5π525

∵θ∈(0，∴cosθ⇒sinθ＝255(2)法一：由sin(θ－φ)＝sinθcosφ－cosθsinφ＝

10π，0＜φ＜cosφ的值． 102

⇒sinφ＝2cosφ，102

∴sin2φ＋cos2φ＝5cos2φ－22cosφ＋＝1

⇒5cos2φ－2cosφ－＝0.2解得cosφ＝

22，cosφ＝－ 210

π2

∵0＜φ＜cosφ＝.22

πππ

法二：∵0＜θ，φ＜，∴－＜θ－φ＜222所以cos(θ－φ)＝1－sinθ－φ＝故cosφ＝cos[θ－(θ－φ)] ＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝

π

4．(2012广东，12分)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋)(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.6(1)求ω的值；

53105102＋.5105102

310

(2)设α，β∈[0，π2，f(5α＋53＝－65，f(5β56＝16

17cos(α＋β)的值．

解：(1)∵f(x)＝2cos(ωx＋π6，ω>0的最小正周期T＝10π＝2π1

ωω＝5.(2)由(1)知f(x)＝2cos(1π

5x6)，而α，β∈[0，π2，f(5α＋5π3)＝－65f(5β－5π6)＝16

17，∴2cos[15(5α＋5π3)＋π6]652cos[15β－5π6)＋π6]＝16

即cos(α＋π38

2＝－5，cos β＝17，于是sin α＝35，cos α45sin β＝15

17，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝4831513

5×17－517＝－85

5．(2011江苏，14分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若sin(A＋π

6＝2cosA，求A的值；

(2)若cosA1

3b＝3c，求sinC的值．

解：(1)由题设知sinAcosπ6＋cosAsinπ

6＝2cosA.从而sinA＝A，所以cosA≠0，tanA＝因为0＜A＜π，所以A＝π

(2)由cosA1

3b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝b2－c2.故△ABC是直角三角形，且B＝π

2所以sinC＝cosA1

6．(2009山东，12分)(本小题满分12分)设函数f(x)＝cos(2x＋π

＋sin23x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；

(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB＝1

fC2＝－1，且C为锐角，求sinA.解：(1)f(x)＝cos2xππ1－cos2x3sin2xsin32

＝12cos2x－2sin2x11

22x ＝123

sin2x.所以，当2xπ22kπ，即x＝－π

4＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，f(x)3

max＝

12，f(x)的最小正周期T＝2π

＝π，故函数f(x)的最大值为13

2，最小正周期为π.(2)由f(C112＝－4232C＝－1

4，解得sinC＝

32C为锐角，所以C＝π

由cosB＝123求得sinB＝2

因此sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC ＝2231132＋32＝223

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