数学换元法_高中数学换元法

2020-02-27 其他范文下载本文

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换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin α，α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ＋y ＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0, ]。

例：

1.y＝sinx?cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x ＋1)＝log(4－x)（a>1），则f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{a }中，a ＝－1，a ?a ＝a －a，则数列通项a ＝___________。

4.设实数x、y满足x ＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

5.方程＝3的解是_______________。

6.不等式log(2 －1)?log(2 －2)〈2的解集是_______________。

【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－ , ]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y ＝＋；

2小题：设x ＋1＝t(t≥1)，则f(t)＝log [-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,log 4]； 3小题：已知变形为－＝－1,设b ＝，则b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a ＝－；

4小题：设x＋y＝k，则x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以k≥1或k≤－1；