余弦定理教材微观分析_垂径定理教材分析

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余弦定理教材微观分析

（一）教材地位和作用

余弦定理选自人教A版必修五第一章第一节“正弦定理与余弦定理”，主要包括正弦定理与余弦定理两个概念。本节内容是第2课时。教材知识结构主要研究余弦定理的推导及运用余弦定理解三角函数，从数学学习角度看属于命题课。余弦定理的学习建立在正弦定理、向量运算和勾股定理的基础上，是勾股定理的推广和正弦定理的补充，将三角形的边与角联系起来，实现边角关系的互化，是解三角形的一个重要方法，为后面应用正、余弦定理测量距离、解决有关三角形的计算问题、证明一些三角恒等式，判断三角形形状打下了一定的基础。

教材编排从全等三角形的判定方法出发，引出出问题：“如何计算出三角形第三边的长”。让学生通过已掌握的向量求模的方法化简得到余弦定理。再将勾股定理与余弦公式进行比较，得出判断三角形形状的方法。这样安排一是符合学生的认知规律，二是让学生经历了定理的产生与证明，加深了对向量运算的理解。

（二）核心内容和思想

本节课的核心内容是：余弦定理内容及其证明，余弦定理在解三角形中的应用。因为余弦定理是联系一般三角形中的边角关系的一个重要工具。从思想方法看，本节课蕴含着数形结合、类比思想、转化思想、方程思想，教会学生解决三角形问题的基本方法。

（三）教学重点和难点

余弦定理揭示了三角形中边和角的数量关系，是解三角形的一个重要工具，为今后判断三角形形状，证明与三角形有关的等式与不等式提供了重要依据，在几何中有着广泛应用。所以，教学重点就是余弦定理的内容和在三角形边角计算中的应用。

教学难点是余弦定理的发现和公式的推导。余弦定理的证明需要运用到向量的数量积或解析几何中的两点间距离公式，学生很难想到运用什么方法推出余弦定理。

（四）分析教学目标

知识与技能目标：能够说出余弦定理，能够运用余弦定理解决实际问题。过程与方法目标：在经历向量求模长的过程中探索余弦定理的内容。在运用余弦定理解决三角形问题中，体会数形结合、转化的思想方法。通过余弦定理和勾股定理的比较，体会类比的思想方法。

情感、态度、价值观目标：在余弦定理的证明和应用过程中，感受到数与形的辩证统一和数学的实用性。

（五）例题、习题的作用和编写意图

例3是已知三角形两边及其夹角，解三角形，考察学生对正、余弦定理的综合运用能力。但在运用正弦定理时，正弦值为正，对应的角可能是锐角，也可能是钝角，这就需要学生综合三角形的边和角的大小对应情况作出准确判断。例4是已知三角形三条边，解三角形。例题采用的是余弦定理加三角形的内角和这两个知识点。通过这两道题让学生思考运用正余弦公式求解三角形的利弊，归纳出解三角形的问题分为几类，分别应怎样求解。