从《植树问题》谈数学建模_数学建模经验小谈
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从《植树问题》谈数学建模 哈尔滨市经纬小学校 刘洋
教学片段：
师：同学们，你们知道最早的计数方法是什么吗？对了，结绳计数。这节课，老师也带来了一根绳子。这是一根长0.4米的绳子，平均0.1米分一段，可以分几段？ 生：0.4÷0.1=4（段）师：为什么用除法？ 生：因为是平均分。
师：在这根长0.4米的绳子上，每隔0.1米打一个结，共可以打几个结？ 生：0.4÷0.1=4（个）
师：究竟可以打几个结，请利用学具在小组中实际验证一下，看看有哪些情况？ 生：小组操作
师：哪个小组可以汇报你们的验证结果？
生1：我们小组通过操作发现，从第一个结到最后一个结，一共可以打5个结。生2：我们小组通过操作发现，从第一个结到最后一个结，一共可以打4个结。生3：我们小组通过操作发现，从第一个结到最后一个结，一共可以打3个结。师：仔细观察这三组结论，有什么发现？
生：第一组绳子的两端打了结。第二组绳子的一端打结，另一端没有打结。第三组绳子的两端都没有打结。
师：这么多种情况，我们逐一研究。先从第一组绳子两端都打结的情况开始，好不好？ 师：我们一共解决了两个问题，这两个问题一样吗？ 生：不一样
师：几段，几个有什么不一样呢？
生：段是指两个点之间的部分，个在这里表示打了几个结，结是打在段与段之间的点上的。师：段和点的差别又是什么？ 生：1段有2个点。师：2段有几个点？ 生：3个点。
师：点和段有什么联系？ 生：点比段多1。师：我们一起来数一数。
在数学中，我们可以用一条适当长度的线段来表示这条长度为0.4米的绳子，把这条线段平均分成4份，线段上的每一个点就可以表示绳子上的结。我们再来数一数，看看在这条线段上点和段之间是否还有这样的关系。
师：请你也选择一条适当长度的线段来表示这条绳子，用线段上平均分得的点来表示绳子上的结。生：展示作品
师：说一说你是怎样画的？为什么这样画？一共可以打几个结？
生：我用这样长的一条线段表示这条绳子。在这条绳子上每隔0.1米打一个结，就是把这条绳子平均分成了4分，所以我把这条线段也平均分成4份，这样线段上一共有5个点，那么这条绳子就可以像这样打5个结。
师：不用画线段图，如果这条绳子长1米、2米、3米……又该打几个结呢？请同学们拿出学习卡，填写表格。
师：认真观察表格，你发现在这样的一条线段上画点，段数和点数之间有什么关系？将自己的发现在小组内说一说。生：汇报发现。
师：为什么两端都打结，点数比段数多1？
借助课件帮助学生进一步直观理解。
师：在这种两端都打结的情况中，我们发现点与段之间有这样的关系，那么其他两个小组汇报的情况中，点和段又有怎样的关系呢？ 生2：我们小组发现，点和段数量相同。师：能用线段图表示你们的结论吗？试一试 生：展示作品
师：我们一起来数一数。
生3：我们小组发现，点比段少1。我们也可以用线段图这样表示。（展示作品）师：我们一起来数一数。
师：你们都是善于观察发现并乐于研究的孩子。
师：在数学中，我们把类似于这样的问题称为植树问题。这也是我们本节课要重点来研究的问题。像这样直直的线段我们可以把它看做一条直直的小路，通常我们可以把树植在像这样平均分的点上。在数学中，通常把这样的段叫做间隔，每一段的长度就是间隔长，那么段的数量就是间隔数，把这样的点称为棵，那么点的数量就是棵数。
像第一种两端都植树的情况，棵数与间隔数之间有什么关系？ 生1：棵数=间隔数+1 生2：老师我知道了。像第二种一端植树另一端不植树的情况，棵数与间隔数之间的关系是，棵数=间隔数。
生3：像第三种两端都不植树的情况，棵数与间隔数之间的关系是，棵数=间隔数-1。教学反思：
课标中对建模有这样的描述：建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立等式等表示数学问题中数量变化和变量规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用知识。对几何直观又有这样的描述：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观的理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。本节课从实物模型到数学图形（线段图），教者用这样的方式借助几何直观帮助学生分析问题并学会一种分析问题的方法，不失为这节课的亮点之处。
一、面向全体，暴露已有认知经验
“师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。”学生的已有经验中包括已有认知经验、已有知识经验，也包括已有活动经验。本课以“同学们，你们知道最早的计数方法是什么吗？”这样的问题导入新课是面向全体学生的，照顾到全体学生的已有认知经验——结绳计数，又照顾到学生刚刚掌握的已有知识经验——小数除法。由一个问题沟通已有经验和探究问题，照顾到全体学生的发展水平。
二、构建模型，充分利用数学思想
模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。广义的讲，数学中各种基本概念和基本算法，都可以叫做数学模型。狭义的讲，只有反映特定问题或特定的具体事物系统和数学关系结构才叫数学模型。选择从实物模型过度到数学模型（线段图）就是一种广义上的建模。儿童的思维特点就是形象思维优于抽象思维，因而对于比较抽象的数学知识，借助几何直观，通过建模，帮助学生进行思维转换的做法是比较科学的。让学生借助绳子这一实物模型探究数学问题，可以帮助学生很好的将外部世界和数学沟通起来。学生在观察和操作的过程中，在相同的解决问题的情境下反复经历由实物模型到数学模型的抽象过程，培养学生的模型思想，锻炼学生的抽象思维。选择贴近学生已有认知经验的，形象性更强的实物模型符合儿童的形象思维特点。
学生通过对比观察所展示的成果，从中学生发现：在同一问题情境下却出现三种不同结果，从而引导学生观察思考，发现三种不同结果之间的内在联系与本质区别。学生在对比观察的过程中，发现三种结果平均分得的份数相同，而所画的点数却不同。进而归纳出三者不同之处的关键在于绳子的端点处是否画点以及画几个几点。学生根据不同猜测点数与平均分得份数之间有怎样的数量关系。
仅仅通过猜测得出结论并不科学，还需要继续验证。由于本课要对三种情况都进行验证，课程容量非常大，因此，课上重点验证第一种最基本的情况，即“两端都画点”。其他两种情况学生可以自主选择运用画图分析、合情推理等方法进行验证。
三、落实四基，积累基本活动经验
课标中指出数学学习的四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。通过画图分析和数据积累帮助学生积累基本活动经验的同时，使学生掌握了探究问题的方法，即画图分析和数据积累。
本节课以这样的问题：“仅通过一组数据，就能验证结论是正确的吗？”引导学生经历举例验证积累数据的过程，进一步发展学生的抽象思维，经历由一般到特殊的思维发展过程。考虑到探究容量大及学生的接受能力，将填表举例的过程中难度降低，只研究加减情况，使学生经历绳长变化，间隔长不变，仿照上述探究活动，用画线段图的方法在画一画，分一分，填一填，在一系列探究活动中再次经历验证规律的过程。
本节课借助几何直观，激发学生已有认知经验，通过建模，逐步深入的引导学生通过合理猜测、画图分析、寻求规律、解决问题一系列掌握一种数学活动经验。学生在本节课不仅仅学会解决一类问题的方法，感受几种数学思想，而是学会了一种探究问题的方法，这才是学生最应该积累的数学学习经验，在“做数学”中将生活“数学化”。
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