等差数列前n项和(教学实录)_等差数列前n项和试讲

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“自主学习与创新意识培养数学课堂教学模式”研究课一例

——“等差数列前n项和”教学实录

《普通高中数学课程标准(实验)》中指出:“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识”.数学公式教学应包含三部分:公式的发现、公式的证明和公式的应用.但当前,由于受应试教育的影响,前两部分往往是“蜻蜓点水”“一带而过”,而第三部分却弄得“脚踏实地”“反复操练”,这显然与“既要重结论,又要重过程”的现代教育理念不相符.其实,在数学公式教学中,所谓“重过程”就是要把当初数学家发现和证明数学公式的经历,通过教师创造性的设计,让学生类似的经历数学公式的发现和证明这一再创造的过程;“重过程”就是让学生在不断地发现问题、提出问题、解决问题的过程中,潜移默化地学会研究数学的方法,提高数学素养,学会数学地思考,发展创新意识.下面叙述的是按照“自主学习与创新意识培养数学课堂教学模式”设计的“等差数列前n项和”研究课的全过程.不妥之处,敬请专家、同行赐教.1 设计问题 创设情境

教师:德国著名数学家高斯被人们称为“数学王子”,因他小时候就非常聪明,他是历史上不多见的以“神童”著称的一位数学家,一则广为流传的故事是高斯10岁的时候,有一天,老师为了让班里的孩子们有事干,便出了一道题,即

问题1 求1+2+3+„+100=?

然而老师刚把题写在黑板上一会,小高斯就求出了它的结果,你知道应如何计算吗? 学生1:因为1+100=101,2+99=101,„,50+51=101,于是所求的和是101×100/2=5050.学生2:设s=1+2+3+„+100,①

则s=100+99+98+„+1,②

①+②得,2S=101×100,所以S=101×1002=5050.(此故事及学生1的算法早已为学生所熟知,这里重提此故事,主要是希望学生由此能提出更一般地问题,发现新的算法(如学生2的算法,已见等差数列前n项和推导方法—倒序相加法的雏形).问题2 如图1,是一垛钢管,最下面一层放了102根,最上面一层放了3根,往上每一层都比它下面一层少放一根.这垛钢管共放了多少根钢管

?

不一会儿,就有学生举手回答.学生3:由等差数列的通项公式易知,这垛钢管共100层,由图1联想到梯形的面积公式的推导方法,用类似的方法去想.如图2所示,可以看出图2每层均有3+102根,又知共100层,故共有(3+102)×100根.从而得这垛(图1中)钢管的根数为(3+102)×100/2=5250.学生4:我和学生3想的差不多,由图1联想到梯形的面积公式:梯形的面积=(上底+下底)×高2,于是,图1中的钢管数为:(3+102)×1002=5250.(众生羡慕不已,教师也为该生的创造性解法所折服,这个解法出乎意料!但该解法缺乏依据,为了保护学生的积极性,教师未否定)提出问题 解决问题

教师:由问题1及问题2,同学们能想到些什么问题吗?

学生5:由问题1想到能否求:从1一直加到n呢?即

问题3:求1+2+3+„+n=?,(n∈N+).教师:学生5提出了一个较问题1更为一般的问题,谁能说说所谓求1+2+3+„+n=?,(n∈N+),是什么意思?即题中的“?”应当是一个什么样的表达式?

学生6:所谓求1+2+3+„+n=?(n∈N+),就是要想办法消除左式中的“„”号,而将式子中的“?”用n表示出来.(这一环节不容忽视!这样才能弄清题意、弄清解题目标.)

教师:很好!谁能求出其结果?

学生7:仿问题1中学生2的解法,有因为1+2+3+„+n=?③

所以n+(n-1)+(n-2)+„+1=?④

③+④得,(1+n)n=2?,所以?=n(n+1)/2.即1+2+3+„+n=n(n+1)/2.(※)

教师:上述方法是解决这类问题较方便的方法,大家给这种方法起个恰当的名称好吗?(经讨论大家一致同意叫“倒序相加法”.将起名字的任务交给学生,一是为了激发学生的学习热情,促进学生的概括能力和交流能力的提高;二是能加深对这种方法的认识,并为后续内容的学习做准备.)

学生8:问题1和问题2都是求等差数列前n项和问题,最终都是首项与末项的和乘以项数再除以2,因此,我认为等差数列{an}的前n项和Sn的计算公式应为:

Sn=(a1+an)n/2.教师:这只是一个猜想,其正确性有待于证明.学生探索 证明猜想

教师:设等差数列{an}的前n项和为Sn,即Sn=a1+a2+a3+„+an.证明或否定:Sn=n(a1+an)/2.学生9:联想到等差数列{an}通项公式的推导方法,设公差为d,因为S1=1×a1+1×(1-1)/2d,S2=a1+a2=2a1+d=2a1+2(2-1)/2d,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=3a1+3(3-1)/2d,S4=a1+a2+a3+a4=4a1+6d=4a1+4(4-1)/2d,„,由此得到Sn=n(a1+an)/2.(由于学生还没有学习数学归纳法,因此,虽不能作为一个完整的证明,但也算是一个好思路.)

学生10:要想确定Sn,首先a1和n是必需的,其次是d或an之一.即计算Sn的表达式中必有a1,n,d(或an).Sn=a1+a2+a3+„+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+„+[a1+(n-1)d]

=na1+[1+2+3+„+(n-1)]d

=na1+[1+(n-1)](n-1)/2d

由公式(*)=na1+n(n-1)/2d(公式一)

=na1+n(n-1)/2×(an-a1)/(n-1)=na1+n(an-a1)/2=n(a1+an)/2.(公式二)

学生11:受问题2,学生3和问题3的倒序相加法的启发,有

Sn=a1+a2+a3+„+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+„+[a1+(n-1)d],⑤

又Sn=an+an-1+an-2+„+a1=[a1+(n-1)d]+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-3)d]+„+a1,⑥

⑤+⑥.得2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+„+[2a1+(n-1)d]=2na1+n(n-1)d.所以Sn=na1+n(n-1)/2d.稍作变形又得,Sn=n(a1+an)2.数形结合 继续探索

教师:由上节课我们知道:等差数列{an}的通项公式是an=a1+(n-1)d,也可以写成an=dn+(a1-d),且知,当d≠0时,它是关于n的一次函数, 因此,表示等差数列{an}的各点(n,an)均在一次函数y=dx+(a1-d)的图象上,是其图象上均匀排开的无穷多个孤立的点.比如图3,试问你能借助图象给出公式Sn=n(a1+an)/2的几何解释吗?

学生12:将图3画成图4所示的“楼梯状”(实线部分)图形,则等差数列{an}中的a1,a2,a3,„,an恰好依次为图4中各个实线小矩形的面积.因此,要求Sn=a1+a2+a3+„+an,相当于求图4中这些实线小矩形的面积之和.受问题2解法的启发,只需再倒置上一个同样的“楼梯状”(虚线部分)图形,如图4.则Sn=1/2S矩形=n(a1+an)/2.教师:不过上述证明仅适合an>0的情况.学生13:因为an=a1+d+d+„+d(看成能力),这样将a1,a2,a3,„,an按纵向排列,使ak排在第k行上,得到一个三角形数阵(如图

5),联想到三角形的面积公式(注意第1列单算)知,Sn=na1+(n-1)2/2d.(☆)

【(☆)式一出,下面立即炸了锅,有的自言自语,有的指着黑板相互交流,个别学生大声说不对吧?】

教师:同学们认为上述解法的问题在哪里?

学生14:(☆)式肯定错了,比如取n=2时,由(☆)式得,S2=2a1+1/2d,当d≠0时,与S2=a1+a2=2a1+d相矛盾.教师:很好!用一个特例否定一个结论是数学中的一种重要方法.学生15:(很激动的样子)我找到原因了!不应当类比三角形的面积公式,而应当类比梯形的面积公式,因为上底长为1(个d),而不是0.所以Sn=na1+[1+(n-1)]×(n-1)/2d=na1+n(n-1)/2d.(问题的症结找到了,问题解决了,师生都松了一口气.但该解法缺乏依据,为了保护学生的积极性,教师仍未否定)

学生16:受问题2的启发,将图5旋转180°所得数阵拼到图5的数阵上得图6,可以看出图6每行有(n-1)个d,又共有n行,所以2Sn=n×2a1+n(n-1)d,所以Sn=na1+n(n-1)/2d.裂项求和 锦上添花

教师:同学们在小学和初中时,曾经做过以下问题:求:1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+„

+1/(99×100).还记得当时是如何计算的吗?

众生:用裂项法,即利用1/[k(k+1)]=1/k-1/(k+1).教师:请同学们思考:等差数列{an}的前n项和可否用裂项法求和呢?请同学们分组讨论.小组1:因为an=[(an+d)2-(an-d)2]/(4d)=1/(4d)(a2n+1-a2n-1)(n≥2),(以下略).(经追问说是受x=[(x+1)2-(x-1)2] /4启发而得.)

小组2:因为an=[(an+d)2-a2n]/(2d)-d/2=[a2n+1-a2n]/(2d)-d/2,(以下略).(经追问说是受(k+1)2-k2=2k+1,变形得k=[(k+1)2-k2)/2-1/2的启发而得.)

小组3:因为2d=an+1-an-1,所以2dan=an+1an-anan-1,所以an=(an+1an-anan-1)/（2d）(n≥2).(以下略).教师:棒极了!用裂项法求和就是将和式中的每一项都分解成两式之差,其关键是所分解成的两式之差,在求和的过程中能达到消项之目的.课堂小结 观点提炼

教师:我们这节课主要发现和证明了等差数列的前n项和公式,共有两个公式,它们之间可以相互转化.同学们能否说一说这两个公式有什么用途吗?

学生:这两个公式共涉及a1,n,d,an,Sn五个量,知道其中的任意3个,则可求另外的2个.教师:在发现和推导公式的过程中,都用到了哪些数学思想方法?

学生:由特殊到一般,归纳——猜想,倒序相加法,构造法,裂项求和法,类比联想,数形结合,看成能力.教师:同学们的体会都很深刻,课后同学们要注意落实今天的知识内容和数学思想方法.另外,请进一步研究学生4和学生15的解法,看能否找到其理论依据?若没有理论依据,那么就不能算是数学意义上的正确解法.