数学归纳法习题_数学归纳法习题及答案

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数学归纳法习题

***

1.若命题A(n)(n∈N),n=k(k∈N)时命题成立，则有n=k+1时命题成立.现知命题对n=n0(n0∈N)时命题成立，则有()(A)命题对所有的正整数都成立(B)命题对于小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立.(C)命题对于小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立.(D)以上说法都不正确

42nn2.(2012·济南高二检测)用数学归纳法证明1+2+3+„+n=,则当n=k+1时左端应在n=k的基

22nn11222n2*

8.求证：,(n∈N)13352n12n122n

1n+12n-12

9.用数学归纳法证明a+(a+1)能被a+a+1整除(n∈N*).k1k1础上加上()(A)k+1(B)(k+1)(C)

(D)(k+1)+(k+2)+„+(k+1)

222

3.(2012·合肥高二检测)

n+1(n∈N),某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n=1

＜1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N)

k+1,则当n=k+1时，*

*





∴n=k+1时，不等式成立，则上述证法()

(A)过程全部正确(B)n=1验得不正确(C)归纳假设不正确(D)从n=k到n=k+1的推理不正确 4.若数列{an}的通项公式an=

n1

(n∈N),记f(n)=(1-a1)(1-a2)„(1-an)，*

试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)为()(A)

n2n2n2

(B)(C)n32n22n1

(D)

n

2n1

n

n

5.(2012·徐州高二检测)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x+y能被x+y整除”，当第二步假

*

设n=2k-1(k∈N)命题为真时，进而需证n=__________时，命题亦真.2222

6.(易错题)若f(n)=1+2+3+„+(2n)，则f(k+1)与f(k)的递推关系式是______ _____________________________.7.用数学归纳法证明：

11112＞1(n∈N*,n＞1).nn1n2n

答案解析

1.【解析】选C.n=n0时命题成立，说明n=n0+1时命题也一定成立，但对于n＜n0的正整数，命题不一定成立.2.【解析】选D.当n=k时，左端=1+2+3+„+k，2222

当n=k+1时，左端=1+2+3+„+k+(k+1)+(k+2)+„+(k+1),222

故当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上(k+1)+(k+2)+„+(k+1),故应选D.3.【解析】选D.在n=k+1时，没有应用n=k时的归纳假设，不是数学归纳法.4.【解析】选B.∵f(n)=(1-a1)(1-a2)„(1-an),1111112222

k1k2kk1k2k1

11111111(2)222kk1k2kk1k2k2k1k11＞12k12

k2k1k2k1kk112

kk1

∵k≥2,∴k-k-1＞0,1+

1

k2k1kk1

.1

3f(1)=1-a1=1-,4

413824)=, 94936

1215

5f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=f2(1).163168

f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)×(1-

k2k1kk1

＞1.这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.由(1)和(2)可知，原不等式对任意大于1的正整数n都成立.【变式训练】用数学归纳法证明：1

n2

.故选B.根据其结构特点可得：f(n)=

2n15.【解析】因为n为正奇数，且与2k-1相邻的下一个奇数是2k+1，故进而需证n=2k+1时，命题亦真.答案：2k+1

6.【解题指南】写出f(k)和f(k+1)，采用作差法.222

【解析】∵f(k)=1+2+„+(2k),22222

f(k+1)=1+2+„+(2k)+(2k+1)+(2k+2)，22

∴f(k+1)-f(k)=(2k+1)+(2k+2)，22

即f(k+1)=f(k)+(2k+1)+(2k+2).22

答案：f(k+1)=f(k)+(2k+1)+(2k+2)7.【证明】(1)当n=2时，左边=

1113n*

(n∈N).222

23n2n1

【证明】①当n=1时，左边＝1，右边＝1，左边≥右边，结论成立；

②假设n=k时，不等式成立，即1

1113k.22223k2k1

11113k1

, 2232k2k122k1k12

当n=k+1时，1

下面证：

3k13k1, 2

2k1k12k11

11113

.23412

作差得

右边=1，不等式成立.*

(2)假设当n=k(k≥2,k∈N)时，不等式成立，即

3k1kk23k1

＞0, 2k1k122k11k122k12k3

11112＞1.kk1k2k

那么当n=k+1时，得结论成立，即当n＝k+1时，不等式也成立.*

由①和②知，不等式对一切n∈N都成立.8.(2012·开封高二检测)在数列{an},{bn}中，a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1成等比

*

数列(n∈N),求a2,a3,a4与b2,b3,b4的值，由此猜测{an},{bn}的通项公式，并证明你的结论.8.【解题指南】采用“归纳——猜想——证明”的思想方法.【解析】由条件得2bn=an+an+1,a

n1 =bnbn+1.又a1=2,b1=4,由此可得a2=6,b2=9, a3=12,b3=16,a4=20,b4=25,猜测an=n(n+1),bn=(n+1).用数学归纳法证明.①当n=1时，a1=2,b1=4,结论成立.②假设n=k时结论成立，即ak=k(k+1),bk=(k+1).那么n=k+1时，ak+1=2bk-ak=2(k+1)-k(k+1)=(k+1)［(k+1)+1］,1111，则Sk+1为()k1k2k32k1111111

(A)Sk+(B)Sk++(C)Sk+-(D)Sk+-

2k22k12k22k12k22k22k1

2.设Sk=

3.某个命题与正整数n有关，如果当n=k(k∈N)时，命题成立，那么n=k+1时，命题也成立，即已

知当n=4时该命题不成立，那么可推得()

(A)当n=5时命题不成立(B)当n=5时命题成立(C)当n=3时命题不成立(D)当n=3时命题成立 4.n1(nN)”的过程如下：

证明：(1)当n=1时，显然命题是正确的；(2)假设n=k

k1,则当n=k+1时，*

*

a2k122

bk+1==(k+2)=［(k+1)+1］,bk

∴n=k+1时，结论也成立.由①和②知，an=n(n+1),bn=(n+1)对一切正整数都成立.【挑战能力】

【解题指南】此题是式子的整除问题，与正整数n有关，用数学归纳法解决是较好的选择.2122

【解析】(1)当n=1时，左边=a+(a+1)=a+a+1，可被a+a+1整除；

*k+12k-12

(2)假设n=k(k≥1，k∈N)时，a+(a+1)能被a+a+1整除，则当n=k+1时，k+1+12(k+1)-1k+22k+1a+(a+1)=a+(a+1)k+122k-1=aa+(a+1)(a+1)k+12k-122k-1=aa+a(a+1)+(a+a+1)(a+1)

k+12k-122k-1

=a［a+(a+1)］+(a+a+1)(a+1)，k+12k-12

由假设可知a［a+(a+1)］能被a+a+1整除.22k-12k+22k+12

又(a+a+1)(a+1)也能被a+a+1整除，所以a+(a+1)能被a+a+1整除，即 n=k+1时，命题成立.*

由(1)和(2)知，对一切n∈N命题都成立.【方法技巧】用数学归纳法证明整除问题技巧

应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法.也可以说将式子“硬提公因式”，即将n=k时的项从n=k+1时的项中“硬提出来”，构成n=k时的项，后面的式子相对变形，使之与n=k+1时的项相同，从而达到利用假设的目的.比例，答案解析附后。课后巩固作业（十九）(30分钟 50分)

一、选择题(每题4分，共16分)



*

k11所以当n=k+1时命题是正确的，由

(1)(2)可知对于(n∈N)命题都是正确的.以上证法是错误的，错误在于()(A)从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设(B)归纳假设的写法不正确(C)从k到k+1的推理不严密(D)当n=1时，验证过程不具体

二、填空题(每题4分，共8分)

35.用数学归纳法证明“n+5n”能被6整除的过程中，当n=k+1时，式子(k+1)+5(k+1)应变形为__________________________.6.在数列{an}中，a1=2,an+1

an*

(n∈N)，依次计算出a2,a3,a4后，归纳猜想得出an的表达式为

3an

1_______________________.三、解答题(每题8分，共16分)

nn11222n2*

7.求证：,(n∈N)13352n12n122n18.平面上有n(n≥2)条直线，其中无两条直线平行，也无三线共点，求证：这n条直线互相分割成n条线段或射线.【挑战能力】

(10分)在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,„,an，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,„,bn，使这n+2个数成等差数列.记An=

*

a1a2a3„an,Bn=b1+b2+b3+„+bn.试比较An与Bn的大小(n∈N)，并证明你的结论.答案解析

1.【解析】选D.由所给等式可知，当n=1时，左边应有四项，即1+2+3+4.2.【解析】选C.∵Sk1

n3n41.(2011·马鞍山高二检测)用数学归纳法证明等式1+2+3+„+(n+3)=(n∈N)时，*

第一步验证n=1时，左边应取的项是()(A)1(B)1+2(C)1+2+3(D)1+2+3+

41111

1

k11k122k2k12k

2111

Sk1Sk

2k12k2k1 11

Sk.2k12k2

独具【易错提醒】在由n=k到n=k+1的转化过程中，必须搞清式子的结构，即弄清楚增加和减少的项，本题易误选B.3.【解析】选C.判断其逆否命题,若n=3时，该命题成立，则n=3+1=4时，命题也一定成立.4.【解析】选A.由推理过程可知，在第二步证明n=k+1的结论时，没有使用归纳假设.33232

35.【解析】(k+1)+5(k+1)=k+1+3k+3k+5k+5=(k+5k)+3k+3k+6=(k+5k)+3k(k+1)+6

∵k(k+1)为偶数，∴3k(k+1)+6能被6整除.答案：(k+5k)+3k(k+1)+6 6.【解析】∵a1=2,an1



k1[k11].2［2k11］

a3ana1a2222

a2,a3,a4 ,于是猜

3an13a1173a21133a3119

∴当n=k+1时，等式也成立.*

由(1)(2)可知，等式对任意n∈N都成立.8.【证明】(1)当n=2时，两条相交直线互相分割成4=2条射线，命题成立.*2

(2)假设当n=k(k∈N且k≥2)时，命题成立，即k条直线互相分割成k条线段或射线.则当n=k+1时，第k+1条直线与前k条直线有k个交点，这k个交点把第k+1条直线分成k-1条线段和2条射线，这k个交点又把它原来所在的线段或射线分成2段，所以线段或射线又增加了k段.22

加进第k+1条直线后，共增加了k-1+2+k条线段或射线，这时有k+k-1+2+k=(k+1)条线段或射线，所以n=k+1时命题也成立，由(1)(2)可知，结论成立.【挑战能力】

独具【解题提示】先由等差、等比数列的性质，求出An与Bn，再由特殊到一般猜想An与Bn的大小，用数学归纳法证明.【解析】∵1,a1,a2,a3,„,an,2成等比数列，∴a1an=a2an-1=a3an-2=„=akan-k+1=„=1×2=2, ∴An=(a1an)(a2an-1)(a3an-2)„(an-1a2)(ana1)=2, ∴An=2.n2

.6n5

2*

答案：an=(n∈N)

6n5

想an=

7.【证明】(1)当n=1时，左边=∴左边=右边.∴当n=1时，等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N)时，等式成立，即当n=k+1时，*

n

11121

，右边=, 133233

又1,b1,b2,b3,„,bn,2成等差数列，∴b1+bn=1+2=3, ∴Bn=

nb1bn2



kk112k

成立, 13352k12k122k12

n.2

n

要比较An与Bn的大小，只需比较An与Bn的大小，即比较2与当n=1,2,3,„6时，容易计算出2＜

n

n的大小.4

kk1k1k11222k2

 13352k12k12k12k322k12k12k392

n, 4

k(2k3)2(k1)

(k1)

22k12k3

k1k2(2k1)k1(k2)

22k12k322k392441×7=,44

44192n

∵128＞,∴2＞n.44

982

当n=8时，2=256, ×8=144,492n

∵256＞144,∴2＞n.92n

猜想：当n≥7时，有2＞n.当n=7时，2=128，7

以下用数学归纳法加以证明： ①当n=7时，已验证猜想正确.②假设n=k(k≥7)时猜想正确，即2k

＞92

k.那么n=k+1时，2k+1

=2·2k

＞2·

94k2=94

·2k2, 又当k≥7时，2k2

-(k+1)2

=k2

-2k-1=(k-1)2

-2＞0, ∴2k+1

＞

(k+1)2

.即当n=k+1时，猜想也正确.由①②知，对一切n≥7(n∈N*)，都有2n

＞92

n, 即A22

n＞Bn，也即An＞Bn.综上，当1≤n≤6(n∈N*)时,An＜Bn;

当n≥7(n∈N*)时，An＞Bn.