数学文化结课论文_数学欣赏结课论文

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本科生《数学文化》选修课程论文

数学与科学

学

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论文完成日期：二〇一五年11月29日

摘要

一般人对数学的印象，多半是理性的、精确的，因此很少人会将它跟柔美浪漫和感性的音乐联想在一起.虽然音乐也有理性和精确的一面，但是在过去，数学和音乐一向是壁垒分明的.数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学，符号体系的使用使数学具有高度的抽象性.而音乐则是研究现实世界音响形式及对其控制的艺术，它同样使用符号体系，是所有艺术中最抽象的艺术.从表面上看，音乐与数学是“绝缘”的，其实不然.关键词

起源

发展

美

目录

1.数学与音乐皆为艺术 2.音乐与数学结合的起源 3.乐理中的数学规律 4.乐曲结构与黄金分割 5.和声的傅立叶分析 6.乐器中的数学奥妙 7.相关名言

8.数学与音乐融合的必然性

引言

J．J西尔威斯特曾经问道：“难道不可以把音乐描述为感觉的数学，把数学描述为理智的音乐吗？”这实际上是对音乐和数学联系的间接描述.数学是对事物在量上的抽象，而音乐是对自然音响的抽

象，我们所提到的两者的关联，正是在抽象这一点上将音乐与数学连结在一起.因此德国著名哲学家、数学家莱布尼茨说：“音乐，就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的.”而爱因斯坦说得更为风趣：“我们这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学公式组成.“两者都有各自的抽象符号，又为各自的规则支配.数学符号不等于数学正如曲谱不等于音乐.1.数学与音乐皆为艺术

何谓数学？何谓音乐？各种解释与说法不一，其中有以下的看法：

(1)数学源自于人们对自然界规则事物的观察，它是一种研究自然规律的科学；(2)音乐是对于声音中规则变化的认识，而不规则的声音，即属于噪音(黄嘉彦、张如梅，民89).由此可知，数学与音乐都同样是在对自然界的事物作描述或探求，人们藉由数学和音乐，都可以了解到自然世界部分的现象数学和音乐位于人类精神的两个极端，一个人全部创造性的精神活动就在这两个对立点的范围之内展开，而人类在科学和艺术领域中所创造出来的一切都分布在这两者之间，音乐和数学正是抽象王国中盛开的瑰丽之花，它们的美交相辉映。音乐在演奏中得到生命，数学符号在数学者心中呼吸.两者在各自伯乐的眼中都美的惊人.2.音乐与数学结合的起源

2.1早期的古希腊包括中世纪时期的作曲家和理

论家，都是被当做科学家来看待的。早期的音乐大概有两个大的分类，“music as theory”和“music as practice“，前者从纯粹的理论方面来研究音乐，后者是从表演方法的角度来研究。前者的研究，很多都是和数学重合的.另外，从很多音乐创作技法和观念上来说，也是和数学有紧密联系的.比如早期音乐中时值最开始是以三等分来划分，后来才发展出两等分；以及各个模仿声部之间的比例的确定（早起音乐是没有我们今天乐谱上的小节线的，所以，音与音之间的时值比例在那时是一个更本质的音乐理论和创作元素）；早期对八度、五度的运用，到逐渐加入三度和六度的过程，以及一直避免三全音的观念；音乐高潮放在黄金分割点上的技法；另外，一个实际的音乐作品的例子是Dufay的Nuper rosarum flores.这部献给佛罗伦萨大教堂的委约作品，其音乐结构中包含了各种影射教堂建筑结构的数学比例，比如：talea的6：4：2：3的比例就是教堂圆顶的nave, transept, apse和高度的比例等等.巴洛克时期发展成熟的各种复调手法，从某种程度上来说也就是数字的游戏.比如对主题的倒影，逆行和倒影逆行.整个巴洛克时期、古典时期和浪漫主义时期通用的功能和声，也是和数学模式紧密相关的.比如V-I(i)就能确立一个新调，或者传统的转调都是在近关系调之间转，或者模进中的“首调模进”和“变

调模进”的区别在哪（音阶不变或者音程不变），本质上都是长久以来从一个数学的逻辑推导出来的.20世纪初，勋伯格打破传统调性体系后，不论

是自由无调性还是序列音乐，还是再往后一点的octatonic音乐，都是建立在”音集“(set或者collection）理论上的.这个”音集“，就是把一个音高组合的材料数字化，然后再去用各种方式进行变形和”变奏“来发展.另外，不论是十二音的完整matrix，还是octatonic的音阶的移位，还是梅西安自己的有限移位调式，只要涉及到调式或者音阶的移位(transposition), 那都是和数学紧密相关的.2.2乐声的协调与所联系的整数之间有着密切的关系，拨动一根弦发出的声音取决于绷紧的弦的长度,协和音由长度与原弦长的比为整数比的弦给出, 被拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比，由增大成整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶.五度相生律是毕达哥拉斯的首创，故又名毕达哥拉斯律.基础音：发音体整体振动产生的最低的音是基础音，是由一根弦或空气柱整体振动时产生的泛音：以基础音为标准，其余1/

2、1/

3、1/4等各部分也是同时振动，是泛音.泛音的组合决定了特定的音色，并能使人明确地感到基音的响度。乐器和自然界里所有的音都有泛音.根据第一、二泛音间频率比为2：3的关系进行音的繁衍，以此为纯五度，进行一系列的五度相生，从而得到调中诸音.纯律取泛音列中第一、二泛音之间的纯五度以及第三、四泛音间的大三度这两种音程为繁衍新音的要素，由频率比为4:5:6的几个大三和弦确定诸音高.纯律的实际应用及乐谱记载在六世纪由我国梁代丘明传谱的《碣石调幽兰》.直至十六世纪我国在数学运算上有所突破，在算盘上用开两次平方和一次立方的方法求出了十二次方根，这实际就是一百多年后由德国人沃克梅斯特提出的十二平均律，公比为1.05946，是2开12次方的算数根.3.乐理中的数学规律 3.1音程转位

音程：两个音之间在音高上的关系

单音程：八度以内的音程

音程转位：将音程的冠音和根音相互颠倒位置 音乐中的音程有严格的数学理论，一个大调中如果以根音C（do)的频率为1，那么其他音的频率分别为D(re)=9/8, E(mi)=5/4, F(fa)=4/3, G(so)=3/2, A(la)=5/3, B(si)=15/8, 高音do=2，而如果我们从B大调出发就可以得到其他音的频率：小二度(升do)=16/15, 小三度(升re)=6/5, 三全音(升fa，增四度)=64/45, 小六度(升so)=8/5 ,小七度(升la)=16/9.对单音程而言，原音程及其转位音程的度数之和为9.在音符方面，小于全音符的诸音符由除法确定，如二分音符为全音符的 ½，四分音符为全音符的 ¼.拍子是拍的分组，如 ¾ 拍子是以全音符的¼为1拍，每小节有3拍，即3×¼=¾，而 6/8 拍子可认为以全音符的 1/8 为一拍，每小节有6拍，即6×1/8=6/8.4.乐曲结构与黄金分割 4.1对称

在数学上就是1:1，由上下句构成的乐段，由起承转合四部分构成的作品，由四个乐章构成的交响曲，都体现了造型的对称美

4.2黄金分割

把线段L分成两段，使其中较长段x为全段与较短段（L-x）的比例中项，即满足等式L:x=x:（L-x）.x=0.618034…倍

巴托克的顶峰之作《弦乐、打击乐与钢片琴的音乐》 这部作品第三乐章89小节 55小节 A34小节 B34小节 A21小节,高潮 一21小节 二13小节 一13小节 二21小节 一13小节 二8小节 →34：55 13：21 21：34 8：13 黄金分割

8、13、21、34、55、89等小节数数字本身，则均含于黄金分割的另一种形式——斐波那契数列（即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144等，且从第三项起每项均为前两项之和）.这个数列前两项之比1:1反映对称关系，而自第三项起，每相邻两项之比如2:

3、3:

5、5:

8、8:13等均近似反映黄金分割的比例关系，且愈往后精确度愈高.由此可认为，上述乐曲的结构明显受斐波那契数列的制约.5.和声的傅立叶分析

5.1一个音叉所发出的声音，其图像就是一个正弦函数.任何乐声的图像都是周期性的图像，它有固定的音高和频率.而傅立叶定理指出，任何一个周期函数都可以表示为三角级数的形式，如任何一个周期函数都可表示为

 f(t)a0ancosnxbnsinnx，即f(t)Ansinnxn。n

12n1

其中频率最低的一项为基本音，其余的为泛音。由公式知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波.根据傅立叶定理，每个乐音都可以分解成一次谐波与一系列整数倍频率谐波的叠加.5.2傅立叶还发现每种声音都有三种品质：音调，音量，音色与曲线的频率有关 与曲线的振幅有关 与周期函数的形状有关 6.乐器中的数学奥妙

低音乐器发音低，声波长，所以要求共鸣箱有较大体积；高音乐器则反之，发音高，声波短，所以共鸣箱需较小体积.由于一件乐器可以发出多个乐音，所以又要求其形状复杂，以利于在各个不同方位上形成不同长度的共鸣空气柱，适合于不同高度音响的需要.如中央C音频率为261.63Hz，波长1.3米，波长的是0.325米，为保证该音共鸣，则共鸣箱的内空至少有一个方位为0.325米（或其

2、4、8等倍数）.音越低，波长越大，跨越障碍的本领也越强，再加上频率低，能量损耗小的特点，决定了低音的传远性.乐器之王——钢琴的键盘，其琴键的音程恰好与斐波那契数列有关.在钢琴的键盘上，从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程，其中共包括13个键，分别是8个白键和5个黑键，而5个黑键分成2组，一组有2个黑键，一组有3个黑键。

2、3、5、8、13恰好就是斐波那契数列中的前几个数.6.相关名言

音乐是心灵的算术练习.——莱布尼茨

音乐是由数规定的运动.——奥古斯丁

8.数学与音乐融合的必然性

音乐中出现数学与数学中存在音乐并非偶然，而是音乐与数学融合一体的完美体现.音乐可以抒发

人们的情感，是对人们自己内心世界的反应和对客观世界的感触，因而是以一种感性的方式来描述世界，而数学是以一种理性的、抽象的方式来描述世界，使人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识.虽然音乐与数学描述世界的方式不同，但最终目的都是为人类更好地生存和发展服务，因此两者可以从根本上统一起来，成就了一种必然.致

谢

在研究时感谢任课老师对基础知识的传教，使我更加有基础来进行研究，同时感谢室友给提供的关键信息.也感谢众位学者专家的论述使我得以顺利完成此次研究.