天元,围棋的奇点1_天元围棋
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天元，围棋的奇点（续一）——奇数小棋盘
武坤 李喆康剑一
引言
本刊２０１５年５月第一期中，我们对围棋的小棋盘情形下进行了研究，并根据数学及天文学的一些理论指出了“天元是围棋大贴目的原因，并提出了“奇数棋盘下围棋的合理贴目应该为４子半（即９目）的猜想”。
本文，我们将继续对此问题进行更深入的研究。
1、几个说明：
１）为了证明的方便，本文及今后的后续文章均采用数子法（如有提到目的概念之处，则仅表示2目为1子）。
２）由于围棋的极度复杂性（即使是在1*2n+1的小棋盘下，都是如此，参见后面的第一章），为此，我们在行文过程主要以参考图为主，即使有些地方说明为双方最佳应对，也有可能遗漏了某些变化。
2、几个更正图
在文献１中，对于偶数棋盘的参考图有误，先根据文献２中结果进行下更正。很显然，对于偶数棋盘，就没有中心天元这一点，而有趣味的是，没有了天元这一点，好像贴目居然变得与有天元点时有很大不同了。
如下图，在４路棋盘下，双方走成的一个合理的棋形，最终黑棋如果贴目为1子（2目），则双方为“和棋”。
对于6路棋盘，李喆也给出了一个双方最强的应对图，说明黑的合理贴目应为4目（2子），在贴2子（4目）的条件下双方也为“和棋”。
可以看到，如上图所示的4路棋盘6路棋盘，贴1子（2目）贴2子（4目）和棋显然与有天元点时黑的大贴目有非常大的不同！
3、本文主要目标
在文献1中，我们提出猜想：对于奇数棋盘（7路以上棋盘时），因为有天元的存在，黑变成了需要4子半（9目）的大贴目。
在文献2中，李喆根据围棋的专业知识，论证了7路棋盘下，双方最佳的应对下，四子半的猜想是正确的。
但由于围棋的超级复杂性，要直接论证9路及以上奇数棋盘下黑需贴四子半，是非常困难的。
但我们依然可以从其它角度来深入研究，比如，根据数学和天文学中“奇点”的概念，贴目应该与棋盘尺寸无关！既然如此，那么就应该与棋盘的横向或纵向都无关，因此我们不妨换一个思维方式，我们转而考虑非正方形（且一个方向路数很少的）棋盘，先进行研究。
比如：对于1*（2n+1）、3*（2n+1）和5*（2n+1）这三种情况，分别在第一章、第二章和第三章进行研究。更大的棋盘下，因点数过多则难以直接进行研究。
可以设想，对于小尺寸的棋盘，可以看成“宇宙”尚未完全张开，贴目当然不会是四子半（9目），但仍然会有一定的规律性，因此会使我们对于围棋的贴目和围棋本身的理解能够加深一小步！
第一章、1*（2n+1）路棋盘
这是最简单的非正方形棋盘，能够顺利地得到双方的最优解，从而找到一些确切的规律性。
显然，当n=1时，黑走在中间“天元”一点，白不能活。
当n=2时，Erik C.D.在文献3中给出的计算机模拟结果说明黑的合理贴目应该为0，下图是原理图：
当黑1如走在天元位置时，白可以通过碰，利用打劫将黑全灭。当走到图1-1时，白再从1.2位提劫，黑无应对，白再1.4.位全部吃掉黑。所以，黑第一手只能走在1.2位，白走1.4，黑方贴目为0。
图1-
1、1*5路棋盘
于是我们只从n>=3进行讨论，我们分二条线来进行。A、1*4n-1，n=2，3...1、n=1（1*7路棋盘）
图1-
2、1*7路棋盘
此时为1*7路棋盘，黑走天元为最优解，白只能走在1.2路上，到黑3，双方为最优应对，黑多2子，也即如假设黑贴一子，则双方此图为“和棋”。
1*7路棋盘下，还在一个双方最优解是：黑第一手走1.6路，白走1.2路，黑再走“天元”点。仍为黑多2目。显然，白2如占据天元点并非最强手，黑3只要走在1.2路则黑可得到更多。
2、n=2（1*11路棋盘）
图1-
3、1*11路棋盘
此时，黑仍走天元，白只能走在1.2路（或1.10路）上，到黑5，双方为最优应对，黑多2子，也即如假设黑贴一子（2目），则双方此图为“和棋”。显然，在1*11路棋盘下，仍然有另外的双方最优解（且第一手不走天元）。通过认真分析我们可以发现：虽然可能有黑第一手不走天元的双方最优解，但这些双方最优解的共性是，虽然第一手不走天元，但在某个时候时，黑必须占据天元点，否则被白占据天元后，黑必败！
同样道理，1*
15、1*19路棋盘（或更多路）均可得到同样规律，在此不多重复。
接下来，我们通过极有说服力的1*19路棋盘，来说明上述的规律。
3、n=4（1*19路棋盘）
图1-
4、1*19路棋盘
黑第一手仍走天元，白只能走在1.2路，到白7，双方为最优应对，黑仍然是比白多2子，也即如果假设黑贴1子（2目），则双方此图仍然为“和棋”。
虽然有很多其它的最优解，但不论是哪一个，都完全符合前面所说的规律，黑白双方如有违背任何一个，对方就会获得胜利（在黑贴1子的假设下）。
一般地，当n为任意数时也是如此，即黑的贴目总是2目（1子）！以下是简要的归纳法证明，要点是：
1、假设n=k时结论成立，考虑k+1，黑1先走1.2位，白2只能走对称的1.2位（否则黑3再占此点，则白无法成眼，被全吃），此时余下点正好为n=k的点，应用假设结论，可知n=k+1时贴目也是1子（2目）。
2、再证明n=k+1时，黑1走天元是最优应对之一。黑1走天元时，白2只能走1.2位（如不走1.2位，则黑3走1.2位，会形成一眼，最终白不行），黑3走另一方向的1.2位，这时的3个子与黑1黑3互换顺序是完全等效的，故n=k+1时黑第一手走天元也是最优应对。
由此，我们得到二个重要的规律：
规律1：天元点与贴目关系巨大，黑第一手（或者在恰当时机的某一手）必须占据这个重要的点，才能确保能够达到最大的贴目数！
规律2：本例子还有一个重要的规律是：天元点从左右这个方向上已经不是在3路和4路上，而是在10路（高位）上了！
B、1*4n+1，n=2，3，4...1、n=2（1*9路棋盘）
图1-
5、1*9路棋盘
仔细研究，可以发现，此时黑第一手仍可走天元，白最优应对是走在1.2位，黑则走1.8位对称点，白4碰，到黑5，白6提二子后，黑7打二还一，双方子相同，也即如假设黑贴0子，则双方此图为“和棋”。这个结果与文献3给出的贴目为0吻合。
注：本图白4如从黑1右侧碰，则黑提子，白再黑1左侧碰，则黑再提子，最后全吃白棋（根据围棋不允许全局同形反复的规定，之后白不能停一手并等对方也停一手后再提黑1.1位的子）。
本章的第A节，我们看到黑第一手走天元总是一个好的点，本图说明在1*9棋盘中黑第一手走天元并未违背上述的规律。虽然，有其它的变化，第一手不走天元，但贴目也是0。
比如：黑第一手走1.8位，白走1.2位，黑1.6位，白1.4位。也是黑贴0目。
2、n=3（1*13路棋盘）
图1-
6、1*13路棋盘
黑第一手仍走天元，白1.2，黑1.12，至黑6，接下图1-7。
图1-
7、1*13路棋盘（续）
黑1关键，白2提1子，黑3，白提2子后，黑打二还一，双方子相同，也即如假设黑贴0子，则双方此图为“和棋”。
图1-6的白4和白6还有很多变化，但最后双方最好的结果应该都是黑贴0目。
同样，黑的第一手也可走右边的1.2位，也有很多变化，但最合理变化结果仍然是：黑贴0目。
显然，n更大时，类似A节采用归纳法，可证明双方最优应对黑贴目总是0目！
C、进一步的讨论
从上述的结果，我们可得到一系列的讨论思路：
1、围棋贴子（目）从无到有，贴子（目）数量从小到，几十年来一直未得到非常明确的结论，比如：围棋合理贴子到底是多少？随着棋盘的扩大贴子到底是变大还是变小？而本章的研究至少在一路奇数棋盘上，我们有了明确结论：贴子为0或1子。这可以说是对于围棋人业得到的第一个明确的理论结果。
2、我们都知道，有限和无限有着巨大的本质的差异性。本章中，对于一路奇数棋盘，我们得到：无论棋盘多长，即使是无限长，贴子数也是固定的（或0子或1子），这更是围棋知识中第一次得到与无限有关的知识。
3、对1路的棋盘（奇数棋盘），我们发现贴目出现了强烈的震荡现象，即当1*（4n+1）时，贴目为0子（目），而当1*（4n-1）时，贴目为1子（2目）。
文献1我们提出，贴目应该有不变性（即大贴目是由天元产生的，因此不会随着棋盘尺寸的变化而改变），那么1路棋盘贴目的震荡是什么原因产生的呢？ 我们认为，是因为“劫”产生的，而且通过对“劫”的分析，可以得到很多对于围棋的理解：
1）在围棋宇宙张开最初（1路棋盘），天元点的能量巨大，在一定的条件时，这个能量的扩张不顺畅，从而产生震荡，当1*（4n+1）时，正好满足了条件（即正好整数个震荡周期）。当1*（4n-1）时，则不满足劫争的条件。2）于是，我们可以预期：当围棋的宇宙逐渐张开后，围棋的贴目将趋于稳定。后续的讨论会证实这一点。
3）另外，我们可以发现，对于偶数棋盘，比如1*2n棋盘，就没有强烈的劫争现象（我们后续的论文会专门进行研究）。
4）我们还可以预期：当棋盘扩大到一定尺寸后，“打劫”从最优解的角度来看，是可以避免的，也即我们可以在对局中从一开始就可以避开打劫，而并不会影响棋局的胜负。
4、因为围棋的极度复杂性，任何想一次性整体性地解决围棋的理论问题和实战问题都是不可能的，因此逐步地渐近地解决应该是一个务实的思路，为此，我们计划以围棋小棋盘（包括正方形和长方形棋盘）为突破口，以《喆理围棋》微信平台为基础，逐步建立一支由职业和高段业余棋手、数学与计算机专业人员组成的队伍，持续深入地进行研究，得到一系列的关于围棋的理论研究成果，为未来的围棋人工智能研究、围棋实战研究和围棋教育研究等提供基础。
第二章、3*（2n+1）路棋盘
显然，当n=1或2时（即3*3和3*5棋盘），黑第一手走天元，显然则白无论怎么走都不可能成活，故此时黑可全部吃掉白子。
当n=1时（即3*7），文献3中给出的计算机模拟结果为黑第一手走天元可全部吃掉白子。
故我们只需考虑n>=4的情况。
1、n=4（3*9路棋盘）
图2-
1、3*9路棋盘
如图2-1所示，黑1天元，白2为最强手，黑3夹，白4反夹，以下至12为双方最强应对，结果仍恰好为黑多5子，贴两子半（5目）为和棋！
以下是几个3*9路棋盘具有代表性变化：
图2-1A、3*9路棋盘 白14=A
如图2-1A所示，黑企图以黑3、5、7的强手来获取更大利益，然而白6、8、10应对后12是好手，利用黑棋气紧的弱点至白20形成双活，黑棋反而损失惨重。
图2-1B、3*9路棋盘
图2-1B中黑5若先做活自己，白6补活，黑13后下面形成单片劫，白14后，虽然黑先手提劫然而白有A位劫材，黑反而比最佳结果亏损一子。
图2-1C、3*9路棋盘 18=24=12；21=15
图2-1C中黑5若先在白角上作交换后在黑7位补活，但至白14强行做劫，白有16、22两枚劫材，白以微弱优势粘劫收后，黑亏损。
其中白4也可以跳在5位，结果大同小异仍是黑得不偿失，大家可自行验证，在此不做详细说明。
图2-1D、3*9路棋盘
如图2-1D所示，白棋若不甘于接受图2-1结果，企图变招，黑简单而有力的3-5横顶便使白应顾不暇，被黑7夹吃一子后白大亏。
综上可见，3*9棋盘中尽管黑白有很多变化，但在黑占得天元情况下以双方最强应对结果必然是黑多5子，贴2子半为和棋！
2、n=5（3*11路棋盘）
图2-
2、3*11路棋盘
如图2-2所示，在3*11路棋盘中，黑1占据天元，变化与3*9路大同小异，双方最强应对后可以发现，黑仍多五子，贴两子半和棋！
显然与1*（2n+1）棋盘一样，3*（2n+1）棋盘下，最优解并非只有一个。
4、n=9（3*19路棋盘）
图2-
3、3*19路棋盘
图2-3说明，3*19路棋盘下（n=9时），双方最强应对下，按黑贴5目（2子半），黑白双方依然是和棋。
第三章、5*（2n+1）路棋盘1、5*7路棋盘
图3-
1、5*7路棋盘
图3-
2、5*7路棋盘
从图3-1和图3-2二个参考图中可以看出，黑棋仍然是应该贴7目（3子半）。2、5*9路棋盘
图3-
3、5*9路棋盘
图3-
4、5*9路棋盘
从图3-3和图3-4二个参考图中可以看出，黑棋仍然是应该贴7目（3子半）。注：到了5*（2n+1）的棋盘，因为棋盘点的扩大，复杂性已经指数增大，且即使是计算机进行模拟都已难有结果。所以，对于5*7和5*9路棋盘，我们只是结出了可能的参考图，但从1*（2n+1）和3*（2n+1）的结果，我们看到了随着n的扩大，贴目是稳定的，这个不变性的规律正是本文的重点所在。
综上所述，天元点正是围棋中的“奇点”，有了天元点时需要大贴目（今后的后续文章中，我们会继续说明，如去掉天元点时则无需大贴目或不需要贴目），也就是说“天元”正是围棋大贴目的原因。
在此，我们将非对称的小棋盘下得到的规律重新归纳和描述如下：
规律1：天元点与贴目关系巨大，黑第一手（或者在布局阶段的某一手）必须占据这个重要的点，才能确保能够达到应有的大贴目！
规律2：本例子还有一个重要的规律是：天元点从左右这个方向上已经不是在3路和4路上，而是在10路（或更高路）上了！
规律3：围棋的贴目为常数，当围棋宇宙沿未完全张开时，如1*（2n+1）路棋盘的合理贴目应该为0目或2目（1子），3*（2n+1）路棋盘的合理贴目应该为5目（2子半），5*（2n+1）路棋盘的合理贴目应该为9目（4子半）。当围棋宇宙完全张开后（7*7以后），合理贴目则应该都为9目（4子半）。
如果这些规律对于大棋盘都是对的，我们也许会对围棋贴目、劫争等又多了一些理解！也许会有新的布局思想出现！
参考文献
１、武坤，郭倩宇，天元，围棋的奇点，《围棋天地》２０１５年５月第一期，２０１５年。
２、李喆，七路棋盘最优解，《围棋天地》２０１５年１０月第二期，２０１５年。
３、Erik C.D.Van der Werf，Mark H.m.Winands，Solving Go for Rectangular Board，international conputer games aociation，2009年。
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