第五章习题答案_第五章习题及答案

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习 题 5.11．某公司生产一种儿童使用的化妆品，经检测，每毫升产品中所含的细菌数X的期望为200，标准差为10．试估计概率P{X30}．

(X)10． 解：E(X)200,P{X30}P{XE(X)}1Var(X)102812． 930

22．设随机变量X～N(0,9)．(1)求概率P X8；(2)利用切比雪夫不等式估计P X8 的下界． 

3,E(X)0． 解：0,(1)P{X8}P{X8}P{X8}

(2)P{X8}P{XE(X)8}180802(2.667)120.996210.9924． 33190.8594． 28

习 题 5.2 Var(X)2

1n

1．设随机变量X1,X2,,Xn,独立同分布，记XXi．在下列情况下，当n时，X依ni  1

概率收敛于什么值？

(1)Xn～B(10,0.5)，n1, 2, 3,  ；(2)Xn～U(a,a)，n1, 2, 3, ，常数a0；

(3)Xn～N(,2)，n1, 2, 3,  ．

PP解：(1)X5；(2)X． E(Xn)0；(3)XP

2．设X1,X2,,Xn, 是一个相互独立的随机变量序列，且 PXiln(i1)PXiln(i1)0.5，i1, 2, 3,  ． 试利用切比雪夫不等式证明： 

1nPXXi0,n． ni  1

1n

证：iE(Xi)0.5ln(i1)0.5[ln(i1)]0,(i1, 2, 3, )． E()E(Xi)0． ni1

Var(Xi)E(Xi2)[E(Xi)]20.5ln(i1)0.5ln(i1)ln(i1)，1n1n1nln(n1)． Var()2 Var(Xi)2ln(i1)2 ln(n1)nni  1ni  1ni  1

0，据切比雪夫不等式得：0P{E()}1

Var()2ln(n1)0,(n)． n2

1nP

从而 limP{E()}1，即 XXi0,(n)．

nni  1

习 题 5.31．设连续随机变量X1,X2,,X100 相互独立，它们服从相同的分布，概率密度函数为

100x,x1

． 记SXi．利用中心极限定理计算P{S10}． f(x)

0,x1i  1

解：E(Xi)







xf(x)dxxxdx0，2Var(Xi)E(Xi2)[E(Xi)]2x2xdx02

1

1

． 2

n100．据定理5.3.1，得：

Sn10100100

P{S10}1P{S10}111(1.414)10.92130.0787．

10n

2．若计算机进行数值的加法时，对每个加数以四舍五入取整到个位．设所有舍入误差是相互独立的且服从(－

0.5, 0.5)上的均匀分布．

(1)将1000个数相加，求误差总和的绝对值大于10的概率；(2)最多有多少个数相加可使误差总和的绝对值20的概率达到99% 以上？

解：(1)用Xi表示第i个舍入误差，则 Xi～U(0.5,0.5),(i1, 2, , 1000)．

0.50.5(0.50.5)212

0,Var(Xi).n1000． X1, X2,  , X1000 独立同分布，E(Xi)

21212

n



Xninn10n10ni1

据定理5.3.1，得：PXi101P10Xi101P

nni1i1n



10102[1(1.095)]2[10.86321]0.2736．



n



Xnin20n2020ni1

(2)要求n满足 PXi200.99． 即 P 10.99，2

nnnni1

2020

．最大可取 n723． 2.575,n723.910.995(2.575),nn

3．假设在n重伯努利试验中事件A每次发生的概率为0.6，要使事件A出现的频率在0.58～0.62之间的概率

不低于0.95，问至少需要进行多少次独立试验？

(1)利用切比雪夫不等式估计；(2)利用中心极限定理计算．

解：用X表示n重伯努利试验中A发生的次数，令 Zi

1,第i次试验中A发生0,第i次试验中A不发生，(i1, 2, , n)．

则 X

Z,pP(A)0.6,q0.4，X～B(n, p)．

ii  1

n

11n

(1)A出现的频率fn(A)XZi  Z,E(X)np,Var(Z)pqn．Var(X)npq． E(Z)0.6,nni 1

1Var(Z)pq

X0.62}P{0.02ZE(Z)0.02}P{ZE(Z)0.02}110.95，n0.0004n0.022

pqpq0.60.40.05，n12000．

0.0004n0.00040.050.00040.0

5(2)要求n满足 P{0.58X0.62}0.95，即 P{0.58nX0.62n }0.95．利用P153公式(5.3.5)．

nP{0.58

0.62nnp0.58nnp0.02n0.02nP{0.58nX0.62n }20.02npqnpqnpqnpqn

1 pq

nn

0.975(1.96),0.0.95，0.021.96,n2304.．9 6最小取 n2305．

pqpq

4．现有一大批产品，次品率为1%．若随机地抽取5000件进行检查，求次品数在30～60件之间的概率的近

似值．,q0.99． 此为n5000重伯努利试验． 解：用A表示抽到次品，pP(A)0.01

用X表示所抽n件产品中的次品数，则 X～B(n, p)．据定理5.3.2 得：

60.5np29.5np(1.492)(2.914)P{30X60 }P{29.5X60.5 }npqnpq(1.492)(2.914)10.93220.998210.9304．

5．某次英语课程的考试成绩（百分制）X～N(65,225)，考生有一大批，各人成绩相互独立．试求：(1)考试的合格率pP{X60}；

(2)随机地抽取1000名考生作调查，其中成绩合格的人数在600～700之间的概率的近似值． 解：(1)用A表示“考试合格”，pP(A)P{X60}1

6065

(0.333)0.6304；

225

q1p0.3696．

(2)此为n1000重伯努利试验． 用Y表示所抽n名考生中的合格人数，则 X～B(n, p)．所求概率

700.5np599.5np(4.592)(2.024)P{600X700 }P{599.5X700.5 }npqnpq(4.592)(2.024)110.978510.9785．

复 习 题 5

1．某车间有100台车床，它们独立地工作，开工率各为0.8，开工时耗电功率各为0.5kW．问供电所至少要供给该车间多少kW的电力，才能以 99% 的概率保证车间不会因供电不足而影响生产？

解：用X表示“任一时刻工作的车床数”，则 X～B(n, p)，n100,p0.8,q1p0.2． 要求x满足 P{0.5Xx}0.99，即 P{X2x }0.99．利用定理5.3.2．

Xnp2xnp

2xnp0.99(2.327)，2xnpq2.327，P{X2x }P

npqnpqnpqnpq1

x(2.327npqnp)44.654．最小取x45(kW)

2．一家保险公司承接中国民航的航空意外伤害保险业务，每张保险单售价20元．空难发生后，每位乘客的家属可获得保险公司理赔40万元．据调查，近年来中国民航的空难发生率平均为十万分之一．假设一年中保险公司售出此种保险单10万张．试求：

(1)保险公司亏本的概率；

(2)保险公司一年中从该项业务中获得利润达到100万元、150万元的概率分别是多少？

p0.00001解 设X表示购买保险单的十万人中遭受空难的人数，则 X ～B(n,p),n100000,，q1p0.99999,np1,npq0.99999． 由定理5.3.2，Xnp

～AN(0,1)．

(1)所求概率为：P{保险公司亏本}P{400000X10000020}1P{X5}1P{X5.5}

5.5np

1(4.500)0． 1

npq

(2)所求概率为：P{获利达到 100万元}P{10000020400000X1000000}P{X2.5}

2.5npXnp2.5np(1.500)0.9332． Pnpqnpqnpq

Xnp1.25np

P{获利达到 150万元}P{10000020400000X1500000}P{X1.25}P npqnpq1.25np

(0.250)0.5987． 



3．设Xn是独立同分布的随机变量序列，已知E(X1)k,k1, 2, 3, 4存在，且42．证明当n充

k

1n2

分大时，随机变量YnXi 渐近地服从正态分布，并指出其分布参数．

ni  1

证：随机变量序列Xn



 1

独立同分布，E(Xn)E(X1)2,Var(Xn)Var(X1)

22222

E(X14)[E(X12)]2420．

421n2

根据定理5.3.1，得：当n充分大时，Yn Xi～AN2,． ni  1n

4．设随机变量Yn～P(n)，并记Zn

Ynnn，Fn(x)P{Znx}，n1, 2, 3, ．试证明：

x

limFn(x)n2



e

t2dt(x),xR．

（提示：可将Yn看成n个相互独立，且都服从P(1)分布的随机变量之和）． 证：设随机变量序列X1, X2, , Xn,  独立同分布，Xn～P(1)． 记 Yn有可加性)．

X～P(n)(Poion分布具

i

i  1

n

E(Xn)1,2Var(Xn)1，由定理5.3.1，得：当n充分大时，Zn

Ynnn



Ynnn 

～AN(0,1)，即Zn 的极限分布是N(0,1)．