随机数据处理方法 答案 第四章_随机数据处理方法答案

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第四章大数定律与中心极限定理习题参考答案与提示

1.试利用切比雪夫不等式证明:能以0.97的概率断言,将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面H的次数在400至600次之间。

分析：将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验，因此1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布。

解：设X表示1000次试验中出现正面H的次数，则X是一个随机变量，且X~B(1000，1/2)。因此

EXnp10001500 2

11DXnp(1p)1000(1)250 22

而所求的概率为

P{400X600}P{400500X600500}

P{100XEX100}

P{XEX100}

1DX0.975 2100

2．已知随机变量X的概率分布为

X13

P0.20.30.5

试利用切比雪夫不等式估计事件的概率。XE(1.}5

分析：要利用切比雪夫不等式，需先根据给出的随机变量分布列求得相应的期望和方差。

解：由题设知，EX10.220.330.52.3，EX2120.2220.3320.55.9。

从而DXEX2(EX)25.92.320.61。

由切比雪夫不等式得

P{XEX1.5}1DX0.729。21.5

3．设X为非负随机变量，试证；当t0时，P(Xt)1EX。t

t

分析：P{Xt}F(t)f(x)dx，而EXxf(x)dx，代入要证的不等

式的两侧比较，会发现证明实质上是对积分限的放大或缩小，以及变量间暗含的大小关系，很容易就联系到对切比雪夫不等式的证明技巧。

证明：设随机变量X的分布密度函数为f(x)，则当t0时，P{Xt}f(x)dx1ttf(x)dx

1

tx1f(x)dx1xf(x)dx ttt

111xf(x)dx1EX。tt

4．设X为一列独立同分布的随机变量，且k阶原点矩存在，,X,,X,12n

1nkp记作EXk。试证明：Xik。ni1k

分析：由题设条件X为一列独立同分布的随机变量，以及,X,,X,12n

1nk1n1E(Xi)EXiknkk，可见所证结论与辛钦大数定律的结论非常ni1ni1n

类似，即知证明应用独立同分布的辛钦大数定律。

证明：由X1,X2,,Xn为一列独立同分布的随机变量，以及yxk是连续函数知，X1k,X2k,,Xnk相互独立。再由EXkk，得

1nk1n1E(Xi)EXiknkk，ni1ni1n

1nkp则由辛钦大数定律知：Xik ni1

5．在一家保险公司里10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡者家属可向保险公司领得1000元。问：

（1）保险公司亏本的概率多大？

（2）保险公司一年的利润不少于40000元的概率多大？

分析：对于每个人，在一年内要么死亡，要么不死亡，只有这两种可能性，因此考虑10000个人在一年中是否死亡可看成10000重贝努利试验，故死亡人数服从二项分布。因此应用棣莫弗-拉普拉斯极限定理解决该问题。

解：设一年中死亡的人数为X，每人的死亡概率就为p0.006，从而

X~B(10000,0.006)，保险公司每年收入1000012120000元，需支付1000X元。

（1）设A：“保险公司亏本”，则有

P(A)P{1000X120000}P{X120}

 =1P{0X120}1

1

1(7.7693)(7.7693)22(7.7693)

2-2=0

可见保险公司亏本的概率近似为零。

（2）设B：“保险公司一年中获利不少于40000元”，则

P(B)P{1200001000X40000}P{0X

80}



(2.59)(7.7693)(2.59)(1(7.7693))

0.9952

即一年中保险公司以近99.52%的概率获利40000元以上。

6.100道单项选择题，每题1分，考生每次从四个答案中选一个正确答案。若一考生全为乱猜，试用切比雪夫不等式和正态逼近两种方法计算其成绩15分至35分之间的概率约为多少？

解：设X表示考生成绩（选对个数），则X服从二项分布B(100,1/4)，由切比雪夫不等式

P{15X35}P{X2510}1DX 100

由于 EX25，DX75/4，所以

P{15X35}1DX75/410.8125 100100

35251525)()4754正态逼近法 P{15X35}（(2.31)(2.31)

2(2.31)10.9792

7．某厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率均为0.02，假设各台机器工作是相互独立的，试求机器发生故障的台数不小于2的概率。解：设X为机器发生故障的台数，则由题意知X~B(400，0.02)，问题化为求

。以下用三种方法来求解： PX{2}

（1）利用二项分布

4001399 P{XP2}1{X2}10.98C0.020.980.9972400

（2）用泊松分布作近似计算（此时）np4000.028

88 P{X2}1P{X2}1e()1819e0.9970

（3）用正态分布作近似计算（利用定理4-5及4-4的推论1）由于X~B(400，0.02)，则由定理4-4的推论1知X~N(n，n)N(8，4000.980.)02N(8，2.8)近似

于是

08X828 P{X2}10P{X2}2.82.82.868。1[))]0.98592.82.8

8．假设X是来自总体X的简单随机抽样，已知EXkk，X，，X12n

1n2(k1，2，3，4)，证明当n充分大时，随机变量ZnXi近似服从正态分ni1

布，并指出其分布参数。

2222证明：由假设条件可知，X，X，，X12n为来自总体X的简单随机抽样，22222则X同分布,即E，X(i1,2,,)n，X，，Xi212n相互独立且与X

222222,则由独立同分布的中心极限定理有 DXE(X)(EX)xRiii42

2Xni2

nnxlini1422x}12edt 1t221n22近XXni2近似似ni1i1即，所以当n充分大（，）01，（，01）~N~N2242(42)/n2i

421n22时，ZnXi近似服从参数为（2）的正态分布。ni1n