概率论第五章习题答案(王春玲)[1]_概率论第五章习题答案

概率论第五章习题答案(王春玲)[1]由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“概率论第五章习题答案”。

第五章课后习题答案

1.（马尔可夫大数定律）设X1,X2,为随机变量序列，满足马尔可夫条件：

n

lim2DXi0nni1

证明：对任给的0，有

1

limPn

n

n



i1



XE(X)i0 i



证明：对任给的0，有切比雪夫不等式得

1Pn

n



i1

1

XiE(Xi)P

n

D(1n

n



i1n

XiE(Xi)



n

1n

n



i1



Xi)



n





i12

1n

D(Xi)





i12

(1)

1n

因为lim2DXi0，所以limP

nnn

i1n

XiE(Xi)

i1



0.

2.设相互独立得随机变量序列kk1满足：P(kk)

，证明当

时，kk1满足大数定律。

证明：P(kk)

D(1n

n



12,E(k)0,D(k)k

2,k1,2,



k)

k1

1n

n



k1

D(k)

1n

21

n21，当



时，212，因此kk1满

足马尔可夫条件，故当

时，kk1满足大数定律。

3.计算器在进行加法时，将每个加数舍入最接近的整数。舍入误差是独立的且在0.5,0.5上均匀分布。

（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？

为独立的且在解：设第i个加数的舍入误差为Xi,i1,2,，则Xi,i1,2,0.5,0.5上均匀分布的随机变量列。

（1）1500个数相加，其误差总和为Xi，E(Xi)0,D(Xi)

i11500

112,i1,2,,1500

由中心极限定理知

1500

1500

P（

i1

Xi15)P（

i1

Xi



220.1802

（2）设）最多可有n个数相加其误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90，即

n

n

P(Xi10)P(Xi

i1

i1



210.9,也即

100.95,查表可得10101.645

由此可计算得最多可有443个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90。

4.有10000人参加人寿保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率是0.006，死亡时保险公司得付给死亡家属1000元。问：（1）保险公司亏本的概率多大？

（2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率是多少？

解： 令Xi

1,0,第i个人在一年内死亡

否则,i1,2,,10000

则Xi,i1,2,,10000相互独立且同服从二项分布b(1,0.006)，易知

10000



i1

Xib(10000,0.006)

（1）保险公司亏本的概率为

10000

10000

pP(10



i110000

Xi1210)1P(Xi120)

i1



1P 1Xi60

0

(2)保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率分别是

10000

10000

10000

p1P(103



i1

Xi810)P(Xi80)Pi1



Xi60





0.995,10000

1000010000

p2P(10



i1

Xi610)P(Xi80)Pi1



Xi60



(0)0.5,10000

10000

10000

p3P(103



i1

Xi410)P(Xi40)Pi1



Xi60



0.005.5.某电视机厂每月生产10000台电视机，但它的显像管车间的正品率为0.8，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，该车间每月应生产多少只显像管？

解：设该车间每月应生产n只显像管，令

1,Xi

0,第i只显像管是正品

否则,i1,2,,n

n

则Xi,i1,2,,n相互独立且同服从二项分布b(1,0.8)，易知Xib(n,0.8)，i1

n

由条件知P(Xi104)0.997，根据中心极限定理

i1

n

n

n

P(Xi10)1P(Xi10)1Pi1

i1



Xi0.8n

14

0.997

即

0.003,2.745，故n1.26810.6.某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每部分机是否使用外线是相互独立的，并且每时刻每部分机使用外线通话的概率为0.05，问总机需要多少外线才能以不低于0.90的概率保证每个分机使用外线？

解：设总机需要n外线才能以不低于0.90的概率保证每个分机使用外线，令

1,Xi

0,第i个分机使用外线

否则,i1,2,,200

则Xi,i1,2,,200相互独立且同服从二项分布b(1,0.05)，易知

200

200



i1

Xib(200,0.05)，由条件知P(Xin)0.90，根据中心极限定理

i1

200

200

P(Xin)Pi1

X

i

10



0.90

n101.29，n14，故总机至少需要14外线才能以不低于0.90的概率保证每个分机使用外线。

7.设Xn为独立随机变量序列，且服从同一泊松分布：

P(Xnk)



k

k

e

,0,k0,1,2,

试用特征函数方法直接证明对Xn成立中心极限定理。

,n,相互独立，且随机变

量证明：由于Xk,k1,2的特征函数

为

n



e(e)，因此Yn

X

k

n的特征函数为

n(t)e

n(en(1e

121o()n2e



t

o（1n)

e



t

由逆极限定理知Yn,n1,2,的极限分布为N(0,1).8.设随机变量X的密度函数为

rxr1

ex,

f(x)(r)

0,

x0x0

证明当r

时，Yr

N(0,1)。

证明：Yr

r(t)e

t

r，tr

lnr(t)rln(1

t

r[

it

2r

o()]

t

o（tr)2,故r(t)e

由逆极限定理知Yr,r1,2,的极限分布为N(0,1).9.设X1,X2,相互独立且同分布

P(Xki)CNp(1p)

i

i

Ni,i0,1,2,,N

求X

1n

n

X当n充分大时的近似分布。

k

k1

解：由独立同分布的中心极限定理知

n

n



Yn

XkE(Xk)



n1,2,的极限分布为N(0,1)，因此X

n

n

Xk的极限分布为N(Np,Np(1p)

n)。

k1