12二维随机变量的数字特征切比雪夫不等式与大数定律_二维切比雪夫不等式

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概率论与数理统计习题解答第二章随机变量及其分布

12二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律

一、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

fx,y

A

y

1求：（1）系数A；（2）数学期望E(X)及E(Y)，方差D(X)及D(Y)，协方差cov(X,Y)．

解:(1)由

x

22.





f(x,y)dxdy1.有

x





A

y1

dxdyAd

2

r

r

1

drA1

解得, A



.(2)E(X)







xf(x,y)dxdy





dy





x

x

y1

dx0.由对称性, 知 E(Y)0.D(X)E[(XEX)]EX









xf(x,y)dxdy







dy





x

x2

y1

dx

1r21

同理, 有 D(Y).cov(X,Y)E[(XEx)(YEY)]E(XY)





2

d



r

3r

dr2



r(1r2)r

dr[ln(1r2)

1

] 20

1r









xyf(x,y)dxdy









xyf(x,y)dxdy





ydy





x

x

y1

dx0.二、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

1,yx,0x1;

f(x,y)

0,其它．

求(1)cov(X,Y)；(2)X与Y是否独立，是否相关，为什么？ 解:(1)因为EX







xf(x,y)dxdyxdxdy2x2dx

x

1x

3EY

所以有

E(XY)







yf(x,y)dxdydxydy0

1x



xyf(x,y)dxdyxdxydy0

x

x1

x



2cov(X,Y)E[(XEX)(YEY)]E[(X)Y]xyf(x,y)dxdy

3

xdxydy0．

x

1x

概率论与数理统计习题解答第二章随机变量及其分布

(2)当x(0,1)时,有 fX(x)

即 f(x,y)dydy2x;当x(0,1)时, 有fX(x)0.xx

2xx(0,1)fX(x)0x(0,1)

1dxx(0,1)1yx(0,1)同理有fY(y)y 11yx(0,1)dxx(0,1)y

因为 fX(x)fY(y)f(x,y), 所以X与Y不是独立的．又因为cov(X,Y)0, 所以X与Y是不相关的．

三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X与其数学期望E(X)的差的绝对值大于三倍标准差

(X)的概率． 解：P(E3D)D1． 29(3D)

四、为了确定事件A的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A

在10000次试验中发生的频率作为事件A的概率的近似值时，误差小于0.01的概率． 解：设ξ表示“在10000次试验中事件A的次数”，则~B(10000,0.5)且有

Enp100000.55000Dnpq100000.5(10.5)250 0

于是有

mnpqpq p0.01)P(mnp0.01p)11n(0.01p)2(0.01)2n

1pq10.250.75 P（五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少

个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？

解：设ξ表示“发现的次品件数”，则ξ~B(n,0.1)，现要求n.Eξ0.1nDξ0.09n

要使得P(ξ10)0.9，即P(10ξn)0.9，因为P(10ξn)0.9，所以 10EξξEξnEξ100.1nξ0.1nn0.1nP()P()DξDξDξ0.3n0.3n0.3n

100.1nξ0.1n100.1nP(3n)Φ0,1(3n)Φ0,1()0.3n0.3n0.3n

0.1n10Φ0,1(3n)Φ0,1()1（德莫威尔—Laplace定理）0.3n

0.1n10Φ()0.9． 因为n10，所以3n5，从而有Φ，故(n)10,10,10.3n

0.1n101.28，解得n146.查表有Φ，故有(1.28)0.89970,10.3n

答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．