第四章 习题参考答案与提示_第4章习题与参考答案

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第四章 习题参考答案与提示

第四章 大数定律与中心极限定理习题参考答案与提示

1.试利用切比雪夫不等式证明:能以0.97的概率断言,将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面H 的次数在400至600次之间。

答案与提示：将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验，因此1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布。设X表示1000次试验中出现正面H的次数，则X是一个随机变量，而所求的概率为

{400600}PX

2．已知随机变量X的概率分布为

X 1 2 3

P 0.2 0.3 0.5

试利用切比雪夫不等式估计事件{().XEX } −

答案与提示：要利用切比雪夫不等式，需先根据给出的随机变量分布列求得相应的期望和方差。2{1.5}101.5DXPXEX−

3．设X为非负随机变量，试证；当t时，0>

tEXtXP−≥

答案与提示：PX，而，代入要证的不等式的两侧比较，会发现证明实质上是对积分限的放大或缩小，以及变量间暗含的大小关系，很容易就联系到对切比雪夫不等式的证明技巧。{}()()t t F t f x dx

−∞

()EXxfxdx+∞−∞=∫

4．设为一列独立同分布的随机变量，且k阶原点矩存在，记作。试证明：XXXn12，，kkEXμ=kpnikiXnμ⎯→⎯Σ=11。

答案与提示：由题设条件为一列独立同分布的随机变量，以及XXXn12，，11111()nnkkiikiiEXEXnnnn k μμ====⋅ΣΣ =，可见所证结论与辛钦大数定律的结论非常类似，即知证明应用独立同分布的辛钦大数定律。

5．在一家保险公司里10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡者家属可向保险公司领得1000元。问：

（1）保险公司亏本的概率多大？

（2）保险公司一年的利润不少于40000元的概率多大？

答案与提示：对于每个人，在一年内要么死亡，要么不死亡，只有这两种可能性，—1—

第四章 习题参考答案与提示

因此考虑10000个人在一年中是否死亡可看成10000重贝努利试验，故死亡人数服从二项分布。因此应用棣莫弗-拉普拉斯极限定理解决该问题。

若设一年中死亡的人数为X，每人的死亡概率就为0.006p=，从而)006.0,10000(~BX，保险公司每年收入10000元，需支付1000元。12120000×=X

（1）保险公司亏本的概率近似为零。

（2）一年中保险公司以近99.52%的概率获利40000元以上。

6.100道单项选择题，每题1分，考生每次从四个答案中选一个正确答案。若一考生全为乱猜，试用切比雪夫不等式和正态逼近两种方法计算其成绩15分至35分之间的概率约为多少？

答案与提示：设X表示考生成绩（选对个数），则X服从二项分布，由切比雪夫不等式可得)4/1,100(B

{1535}0.8125PX

正态逼近法可得

{1535}0.9792PX

7．某厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率均为0.02，假设各台机器工作是相互独立的，试求机器发生故障的台数不小于2的概率。

答案与提示：设X为机器发生故障的台数，则由题意知，问题化为求XB~(.)400002，PX{≥2}。以下用三种方法来求解：

（1）利用二项分布，{2}0.9972PX≥≈

（2）用泊松分布作近似计算，{2}0.9970PX≥≈

（3）用正态分布作近似计算（利用定理4-5及4-4的推论1）。{2}0.8958PX≥≈

8．假设是来自总体XXXn12，，X的简单随机抽样，已知，证明当充分大时，随机变量EXkk=α(k=1234，，)nZnXnin==Σ121

i

近似服从正态分布，并指出其分布参数。

答案与提示：由假设条件可知，为来自总体XXXn1222，，X2的简单随机抽样，则相互独立且与XXXn1222，，2 X2同分布,即，,则由独立同分布的中心极限定理证明之。EXini2212==α(，,)DXEXEXiii2222242=−=−()()αα —2—__