第五章++大数定律与中心极限定理_第5章中心极限定理

2020-02-26 其他范文下载本文

第五章++大数定律与中心极限定理由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“第5章中心极限定理”。

第五章大数定律与中心极限定理

§5.1大数定律

§5.2中心极限定理

三、计算题

1.设在每次实验中事件A以概率0.5发生.是否可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件A出现的次数在400与600范围内？

解：设X表示1000次试验中A出现的次数，则 X~B(1000,0.5),E(X)500,D(X)250，由切比雪夫不等式有

P{400X600}P{|X500|100}12500.975 2100

所以可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件A出现的次数在400与600范围内.2.将一颗骰子连续掷四次，其点数之和记为X，估计概率P{10X18}。解：设Xi为掷一次骰子出现的点数，则其分布律为：

所以 E(Xi)23456Xi1，P1/61/61/61/61/61/6121(123456)，66

191E(Xi2)(149162536)，66

2912135D(Xi)E(Xi2)E2(Xi)； 6612

依题意Xi14Xi,7E(X)4214,D(X)351235，所以 3

P{10X18}P{1014X141814}

P{|X14|4}135/30.271.24

3.设Xi(i1,2,,50)是相互独立的随机变量, 且服从参数0.03的泊松分布,记Z心极限定理，求P{Z3}。

解：PZ31P

Z31PXi150i，利用中10.1112.75

4．设某部件由10个部分组成，每部分的长度Xi为随机变量，X1,X2,,X10相互独立同分布，E(Xi)

20.5毫米，若规定总长度为（20±1）毫米是合格产品，求产品合格的概率。

解：设总长度为T

10Xi，i11010

则 E(T)E(Xi)21020，D(T)D(Xi)(0.5)2102.5，i1i1

近似

由林德贝格—列维中心极限定理，知TN(20,2.，所以合格的概率为： 5)

01T

P{2201P}T{0P21T}9}

20).5()

212(0.63)120.735710.4714.5．有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的，规定选择正确得1分，选择错误得0分，假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过35分的概率。

解：设Xi为选择第i题所得到的分数，由题设，Xi服从分布Xi

P01,(i1,2,,100)，3/41/4

另设总得分为X，则XX1X2X100，且X~B(100,),E(X)25,D(X)

由德莫弗–拉普拉斯定理 1475，4

近似PX351P

X351P1，查正态分布表可得

PX3512.1310.98960.0104.6.（1）一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知系统运行至少需要85个元件正常工作，求系统可靠度（即正常工作的概率）；（2）上述系统假如由n个相互独立的元件组成，至少80%的元件正常工作，才能使系统正常运行，问n至少多大才能保证系统可靠度为0.95？

解：（1）设X为系统中正常运行完好的元件数，则X~B(100,0.9),E(X)90,D(X)9，由德莫弗—拉普拉斯定理，76 近似

5P{X85}1P{X85}1P1()0.952.3（2）已知 P(X0.8n)0.95，求满足条件的n，其中X~B(n,0.9),EX ()n0.9D,X(，同（n1）解法，PX0.8n1P

X0.8n1P0.95，查正态分布表可得： 1.65,n24.5，取n25即可.7.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20 %，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。

（1）写出X的概率分布；

（2）用德莫弗–拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户不多于30户的概率的近似值.解：（1）X服从二项分布，参数：n100,p0.2，即X~B(100,0.2)，其概率分布为

P(Xk)C1000.20.8kk100k,k0,1,,100；

（2）E(X)np20,D(X)np(1p)16，根据德莫弗–拉普拉斯定理

P14X30PX201420X203020P1.52.5 4444

(2.5)(1.5)(2.5)[1(1.5)]

(2.5)(1.5)10.9940.93310.927.8．某运输公司有500辆汽车参加保险，在1年里汽车出事故的概率为0.006，参加保险的汽车每年交保险费800元，若出事故保险公司最多赔偿50 000元，试利用中心极限定理计算，保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率。

解：设X为500辆参加保险的汽车中出事故的车辆数，则X服从二项分布B(500,0.006)，由题设，保险公司1年的收益为 Y50080050000X，故保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率为

P{Y200000}P

从而由德莫弗－拉普拉斯定理 {50080050X000，20P00X00}

P{X4}994190.572.982.7190.9．某工厂生产的灯泡的平均寿命为2000小时，改进工艺后，平均寿命提高到2250小时，标准差仍为250小时.为鉴定此项新工艺，特规定：任意抽取若干只灯泡，若平均寿命超过2200小时，就可承认此项新工艺.工厂为使此项新工艺通过鉴定的概率不小于0.997，问至少应抽检多少只灯泡？

解：设X为改进后的灯泡的寿命，由题设，E(X)2250,D(X)250，又设n为使检验通过所需抽取的灯泡数，依题意可建立如下不等式P2XXX22000.997，n

或PX1X2Xn2200n0.003，由林德贝格—列维中心极限定理知，0.003，

查表可得如下不等式

2.75552.7513.75n189，即需随机抽取189只灯泡进行寿命检验，测得的平均寿命才能以95%的概率保证超过2200小时.n10．设随机变量序列X1,X2,,Xn,要互独立同分布，且EXn0，求limPXin。ni1

11n

解：设XXi，由题设，E(X)nni1E(X)0，从而 ii1n

n1nlimPXinlimPXi1limPX1limPXE(X)1，nni1nni1n

n即limPXinliP mXEX()，1nni1

由切比雪夫大数定律，知对10，有

nlimPXinlimPXE(X)11.ni1n

1n

11．设随机变量序列X1,X2,,Xn,满足条件limDXi0，证明 nni1