成开华不等式_不等式应用习题课

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重要不等式应用

江苏省兴化中学成开华

一、几个重要不等式。

an为正实数,且n1，定义如下四个平均值:1.平均不等式:若a1，a2，a3，Ana1a2a3an(算术平均数),Gna1a2a3an(几何平均数)n

a1a2an

n222Qn(平方平均数),Hnn

111a1a2an(调和平均数),四个平均数有如下关系:HnGnAnQn,当且仅当a1a2a3an时取等号.（，2，3，.n)均为实数, 2.柯西(cauchy)不等式: 已知ai，bii1

（a1b1a2b2anbn）（a1a2an）（b1b2bn）则 当且仅当2222222aa1a2n

b1b2bn时,不等式中等号成立,若其中

bk0,则ak0(k1,2,3,...n)

柯西(cauchy)不等式常见的变形形式:

（，2，3，.n)同号,则(1)设ai，bii1

an(a1a2an)2a1a2...., b1b2bna1b1a2b2...anbn

当且仅当b1b2bn时取等号,(2)若ai为实数,bi为正实数(i1,2,3...n),则

an(a1a2an)2a1a2.... b1b2bnb1b2...bn

当且仅当222aa1a2a3n时取等号 b1b2b3bn

（，2，3，.n)均为正实数,则(3)已知ai，bii

1a1b1a22anna1a2an）（b1b2bn）

3.排序不等式:设有两个有序实数组:a1a2an及b1b2b3.bn,则 a1bna2bn1anb1a1bj1a2bj2anbjna1b1a2b2a3b3anbn, 其中j1,j2,jn是1,2,3, …,n的一个排列.当且仅当a1a2an或b1b2bn时取等号.4.切比雪夫不等式: 设有两个有序实数组:a1a2an及b1b2b3.bn, 1n1n1n1n

则aibiaibiaibn1i, ni1ni1ni1ni1

当且仅当a1a2an或b1b2bn时取等号.5.Schur不等式：设x, y, z≥0, r是实数，则

xr(x－y)(x－z)＋yr(y－x)(y－z)＋zr(z－y)(z－x)≥0.变形Ix3＋y3＋z3－(x2y＋xy2＋x2z＋xz2＋y2z＋yz2)＋3xyz≥0.简记为Σx3－Σx2(y＋z)＋3xyz≥0.变形IIxyz≥(x＋y－z)(y＋z－x)(z＋x－y).二.例题选讲

1.若正实数a，b，c满足abc1求证:abcbcacab1，1112.设x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，证明：(1＋＋)(1＋≥64.(1989年南斯拉夫数学xyz

奥林匹克试题)

3.（1）设a，b＞0，且a＋b＝ab，证明：

题)

（2）求函数y＝x＋2713－xx的最大和最小值.(2009年全国高中数学联赛试题)

4.如果x、y、z1,且ab1.(2011年摩纳哥数学奥林匹克试b＋4a＋421112,证明：xyzx1y1z1 xyz

5..已知a,b,c,x,y,z是正实数，且x＋y＋z＝1，证明: ax＋by＋cz＋(xy＋yz＋zx)(ab＋bc＋ca)≤a＋b＋c.(2001年乌克兰数学奥林匹克试题)

a2b2c2

3(a2b2c2).6..设a,b,c是正数，且abc1,证明：bca

7.a,b,c为正实数，且abc1,试证： 1113 a3bcb3cac3ab

28.（1）已知a,b,c0,求证：abc3 bcacab2

（2）已知abc0,xyz0, 求证：axbycz3(bc)(yz)(ca)(zx)(ab)(xy)4

79..设x, y, z为非负实数,且x＋y＋z＝1,证明：0≤yz＋zx＋xy－2xyz≤.(第25届IMO试题)27

10.设x,y,z是正数，证明：

11.设a,b,c是实数，222(ab)1yzzx1zxxy1xyyz1.222(1xy)(1yz)(1zx)2(b2c2)2(c2a2)3(ab)23(bc)23(ca)2

111312..已知a，b，c是正数，则≥.(Aaila不等式，2000年a(1＋b)b(1＋c)c(1＋a)1＋abc

中国国家集训队试题)

13.设a,b,c为正数,证明不等式：2ab+bc+ca3•(b+c)(c+a)(a+b).(1992年波兰―奥地利数学奥林匹克试题)

不等式的证明方法和技巧

江苏省兴化中学成开华

一、常见的不等式证明方法：

比较法，综合法，分析法，判别式法，代换法，放缩法，数学归纳法，构造法等等。

二、例题选讲

1.（1）求证：x、y01

x14 yxy

（2）设a、b、c是正数，它们的和等于1，证明

111222 1a1b1c1a1b1c

2..设a，b，c是实数，证明：(a2＋1)(b2＋1)(c2＋1)≥(ab＋bc＋ca－1)2.(2007年印度尼西亚集训队试题)

3..若x,y,z为实数，ABC，求证：xyz2yzcosA2xzcosB2xycosC

364.已知a，b，c是正实数，且abc＝1，证明：1.(2005年中国台湾数a＋b＋cab＋bc＋ca

学奥林匹克试题)

a－bcb－cac－ab35.已知a，b，c是正数，且a＋b＋c＝1＋≤a＋bcb＋cac＋ab2

6.若0≤a1，a2，…，an≤1，证明:a1a2…an＋(1－a1)(1－a2)…(1－an)≤1.7.已知a，b，c，d是正实数，求证:(a＋c)＋(b＋d)≤a＋bc＋d(a＋c)＋(b＋d)＋222adbc

(ac)(bd)22.(第52届白俄罗斯数学奥林匹克试题)

8.设0≤a，b，c≤1，证明：a(1－b)(1－c)＋b(1－a)(1－c)＋c(1－b)(1－a)≤1＋abc.(1981年列宁格勒数学奥林匹克试题)

9.(1).若正数a,b,c满足abcb171,(2005年湖南省数学竞赛试题)b+ca+ca+ba+c4

(2)对x,y,z≥0, 证明不等式 x(x―z)2+y(y―z)2≥(x―z)(y―z)(x+y－z).(1992年加拿大数学奥林匹克试题)

xyz(x+y+z+x+y+z)310..设x,y,z为正数, 求证： ≤.(1997年香港数学奥林匹克集训(x+y+z)(yz+zx+xy)9

队试题)

11.已知正整数n＞1，求证：

2n11125＜…+.(2007年江苏省数学竞赛试题)3n+1n+1n+2n+n364

12.设x,yR,证明:x3x32y23y3x2xyy26

13.．（2010年全国联赛加试第三题）．给定整数n2,设正实数a1,a2,a3,an满足

nna1a2...akn1 ak1,k1,2,...,k1,2,...,n,求证：akAKn,记Ak2kk1k1