判别式法(4)_判别式法

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2er数学解题思想方法专题培训

（四）判别式法

【知识梳理】

定理：实系数一元二次方程ax2bxc0有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的充要条件是：b24ac>0、b24ac=0、b24ac

上述定理利用配方法容易证明。既然实系数一元二次方程与其对应的函数、不等式有共同的判别

式，说明b24ac是联系三者的桥梁。它有极其丰富的内涵和外延，涉及内容广泛且重要；因此，要充分利用和开发它在解题中的价值，往往会为我们解题拓展思路，指明方向，铺平道路。

判别式的使用范围：定理中明确规定：“实系数”指a,b,cR；“二次”指a0；方程是在（－∞，－∞）

内求解。这三者缺一不可，否则上述定理不成立。

一般地，当题中含有或可构造二次型的多项式、方程、函数、不等式时均可考虑用判别式寻找思路，发现解题突破口；或围绕判别式展开一系列的联想、创新思维活动。在使用判别式时要充分挖掘隐含条件灵活变通，有时要变更主元，调整条件结构才能使用。一般有如下几种策略：

⑴ 讨论用法：对判别式的正负性分类讨论，由此可分类求出方程的解，不等式解集，参数取值范围等。

（2）构造用法：根据条件构造判别式或构造方程、函数，由此可求函数值域，证明等式，证明不等式，求恒成立问题等。

【经典例题】

一在代数恒等变形中的应用

例1下列二次三项是，在实数范围内不能因式分解的是

2A,6xx15B,3x10x7C,2x5x4Dy22y2 222

例2k为何值时，二次三项式4xkx3是一个完全平方式

天河数学牛老师： QQ234124222 2

例3已知a,b,c均为实数，且ab8，abc2160，求证abc0

例4m为何值时，6x2xy2y2my6能分解成两个一次式，并进行因式分解

二在方程（组）中的应用

例5已知a,b是关于x的方程x2pxp

xy2例6求方程组的实数解 2xyz1222p10的两个根，求abp的值

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例7若一元二次方程2x(kx4)x260没有实数根，则k的最小值是

A2,B1,C-1,D不存在例8若关于x的一元二次方程x2mxn0有两个相等的实数根，则符合条件的一组m,n的实数值是：m=, n=,例9当b为何值时，关于x的方程x3(a1)x(2aab)0的根在a取任意有理数时均为有理数。

三在函数中的应用

例10对于任意实数x，二次三项式2kx4xk1的值皆为正，求实数k的取值范围。

天河数学牛老师： QQ234124222 222

例11已知二次函数yx22ax(bc)2，其中a,b,c是ABC的三边，求证这个函数的图像与x轴没有公共交点.例12已知二次函数的图像过A(1,0)和B(2,1),且与y轴交点的纵坐标为m,（1）若m为定值，求此二次函数的解析式。

（2）若二次函数的图像和x轴还有异于A点的另一个交点，求m的取值范围。

（3）若二次函数的图像截直线yx1所得的线段长为22，确定m的值。

例13已知x,y为实数，且(x3)(y3)6，求

四在几何，三角中的应用

例14设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，使关于x的方程2x22xm10有实数根，试确定点P的位置

天河数学牛老师： QQ234124222 222yx的最大值

例15

2已知a,b,c2是ABC的三边长，当m0时，关于x的一元二次方程c(xm)b(xm)2max0，有两个相等的实数根，求证ABC是直角三角形。

例16在ABC中，C90，A使关于x的方程x22sinAxcos2AsinA0有两个相等的实数根，斜边c使关于y的方程cy28yc60有两个相等的实数根，解这个直角三角形

例17如右图，ABC中，B60,且B所对的边b=1,求其余两边和的最大值。

天河数学牛老师： QQ234124222 ABDC

例18如右图，AB是⊙O的直径，P是BA延长线上的一点，pc切⊙O于C,ADPC于D, BEPC于E,ADBE30,DC,CE是关于x的方程(m7)x23mx18m0的两个根，求PA与PC的长。

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