均值不等式的变形和应用_均值不等式变形应用

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均值不等式的变形和应用

一、变形

1.设a,b是正实数，则

a2ab+b 2a或+ 2（当且仅当a=b时，等号成立）bba

2.设a,b,c是正实数，则

a2+b2+c2?abbc+ca（当且仅当a=b时，等号成立）

3.设a,b是正实数，则

a+b22ab（当且仅当a=b时，等号a+b

成立）

4.设a1,a2,b1,b2是实数，则

(2222a1+a2b1+b2?a1b1a2b2（当且仅当a1:a2=b1:b2)()()时，等号成立）

二、应用

（一).在求最值中的应用

在求最值时，要利用凑项、凑系数、分离和换元等方法，使两个整数的和或积或平方和为定值，以利用均值不等式;还要注意“一正二定三取等”，特别在多次利用均值不等式时注意取等条件.骣1x1.若x,y是正数，则琪琪

2骣1+琪y琪2的最小值是多少？

桫2y桫2x

解：骣琪x1+骣琪桫2y

琪琪桫y12x

=x2+xy+1y14y2+y2+x+4x

=骣琪琪x2+1+骣桫4x2xy+骣桫yx1+y2

桫

4y2

?12+1=

4ìï2ïx=

12ï

4x当且仅当ïíxï=y，即x=y=时等号成立

ï

yx

2ïï1î

=y24

y2.设0

，求函数y=4x

(3-2x)的最大值.解：因为0

3，所以3-2x>0

故y=4x(3-2x)

=2 2x(3-2x)

£2骣2x+3-2x

桫2

=92

当且仅当2x=3-2x，即x=3

骣4

Î

琪琪0,3桫2

时，等号成立.3.已知a,b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=的最

小值.解：法一：由2b+ab+a=30得

a=30-2b

b+1

所以ab=30-2b-2b2+30b+1b

b

b+1

由a,b为正实数得0

ab=

-2t2+34t-32

t=-2骣琪琪t16+34 桫t

?2 34

=18

故y³118，当且仅当t=4，即b=3，法二：30-ab=a+2b

所以30-ab

令u

u2--300

a=6时，等号成立ab

.解得-

uab£18 1

故y³，当且仅当t=4，即b=3，a=6时，等号成立.18

（二).不等式与方程的转化

4.111

设x,y均为正实数，且+=，求xy的最小值.2+x2+y3

4+x+y1

解：通分得=

4+2(x+y)+xy3

(x+y)=8

所以xy=8+x+y?8（）

整理得xy-

即

故xy³

-0

4?2（舍）

16，当且仅当x=y=4时，等号成立.（三).不等式与恒成立问题

x

5.若对任意x>0，£a恒成立，求实数a的取值

x+3x+1

范围.骣x

解：由题意得 a³x+3x+1桫

又x>0

max

x111

=?

所以

5x+3x+1x+3+13x骣x

即x+3x+1桫

=

max

.轾11

故a³，a的取值范围为,+

5犏5臌

（四).证明不等式

在证明不等式时，要利用比较法、分析法、放缩法、等项匹配法和反证法等方法.6.a2b2c2

已知a,b,c均为正数，求证++?ab+c.bca

a2

证明：+b 2a

ba2

所以?2ab

bb2

同理?2bc

c

c2

?2ca a

a2b2c2

以上三式相加得++?2ab+2b-c+2c-a

bca

()()()

=a+b+c

（亦可直接用变形4）

（五).实际应用

将实际问题转化为数学模型，再用解以上题目的方法解决问题，但要注意实际问题下函数的定义域.