柯西不等式_归纳柯西不等式

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高中数学新课标选修4-5课时计划东升高中高二备课组 授课时间: 2007年 月 日(星期)第节 总第 课时

第一课时3.1二维形式的柯西不等式

（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：

一、复习准备：

1.提问： 二元均值不等式有哪几种形式？

答案：

ab

2

(a0,b0)及几种变式.2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证(a2b2)(c2d2)(acbd)2证法：（比较法）(a2b2)(c2d2)(acbd)2=….=(adbc)20

二、讲授新课：

1.教学柯西不等式：

① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2.→ 即二维形式的柯西不等式→ 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d

222(acbd)(adb)c（（要点：展开→配方）ac.)b d





证法三：（向量法）设向量m(a,b)，n(c,d)，则|m|，|n|

∵ mnacbd，且mn|m||n|cosm,n，则|mn||m||n|.∴ …..证法四：（函数法）设f(x)(a2b2)x22(acbd)xc2d2，则

f(x)(axc)(bxd)≥0恒成立.22

∴ [2(acbd)]24(a2b2)(c2d2)≤0，即…..③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

|acbd| 或

acbd.



|ac||bd|

④ 提出定理2：设,是两个向量，则||||||.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）





→ 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者,共线）

⑤ 练习：已知a、b、c、d

.证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式→ 讨论：其几何意义？（构造三角形）2.教学三角不等式：

① 出示定理3：设x1,y1,x2,y2

R

分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明

→ 变式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）

三、巩固练习：

1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2.作业：教材P374、5题.教学后记：板书设计：

第二课时3.1二维形式的柯西不等式

（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：(a2b2)(c2d2)(ac

bd)22.讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？ 3.如何利用二维柯西不等式求函数y?

要点：利用变式|acbd|

二、讲授新课：

1.教学最大（小）值：

.① 出示例

1：求函数y

分析：如何变形？→ 构造柯西不等式的形式→ 板演

→

变式：y→

推广：yd(a,b,c,d,e,fR)② 练习：已知3x2y1，求x2y2的最小值.解答要点：（凑配法）x2y2

3(xy)(32)

113

(3x2y)

113

.讨论：其它方法（数形结合法）2.教学不等式的证明：

① 出示例2：若x,yR，xy2，求证：

1x1y2.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）

要点：

1x1y12(xy)（1x1y)

22

2

]…

讨论：其它证法（利用基本不等式）

② 练习：已知a、bR，求证：(ab)()4.a

b

13.练习：

① 已知x,y,a,bR，且要点：xy(

xa

by

axby

1，则xy的最小值.)(xy)….→ 其它证法

② 若x,y,zR，且xyz1，求x2y2z2的最小值.（要点：利用三维柯西不等式）变式：若x,y,zR，且xyz

1的最大值.3.小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：

1.练习：教材P378、9题2.作业：教材P371、6、7题

第三课时3.2一般形式的柯西不等式

教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用.教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：

一、复习准备： 1.练习：

2.提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？

答案：(a2b2)(c2d2)(acbd)2；(a2b2c2)(d2e2f2)(adbecf)2

二、讲授新课：

1.教学一般形式的柯西不等式：



① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形

式？

② 猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设a1,a2,,an,b1,b2,,bnR，则

2(a12a22a)(bbn12)bnb)(1a1babnna22



anbn

讨论：什么时候取等号？（当且仅当

a1b

1

a2b2

时取等号，假设bi0）

222

联想：设Ba1b1a2b2anbn，Aa12a22an2，则有B2AC0，Cb1b2bn，可联想到一些什么？

③ 讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？（注意分类）

2222222

要点：令（fx）（a1a2an)x2(a1b1a2b2anbn)x(b1b2bn)，则

f(x)(a1xb1)(a2xb2)+（anxbn)0.222

又a12a22an20，从而结合二次函数的图像可知，2(a1b1a2b2anbn)4(a1a2an)(b1b2bn)≤0

即有要证明的结论成立.（注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：a12a22an2

1n

(a1a2an).（讨论如何证明）

2.教学柯西不等式的应用：

① 出示例1：已知3x2yz1，求x2y2z2的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？→ 板演→ 变式： ② 练习：若x,y,zR，且

1x1y1z

1，求x

y2z

3的最小值..1bc)(11)

4③ 出示例2：若a>b>c，求证：要点：(ac)（1ab



1bc

1ab



1bc



4ac

1ab

)[(ab)(bc)]（3.小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：

1.练习：教材P414题2.作业：教材P415、6题

第四课时3.3 排序不等式

教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式.教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：

一、复习准备：

1.提问： 前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）

2.举例：说说两类经典不等式的应用实例.二、讲授新课：

1.教学排序不等式： ① 看书：P42~P44.② 提出排序不等式（即排序原理）： 设有两个有序实数组:a1a2···an;b1b2···bn.c1,c2,···cn是b1,b2，···,bn的任一排列,则有

a1b1a2b···+anbn(同序和)

2··+ancn(乱序和)a1c1a2c2+·

··+anb1(反序和)a1bna2bn1+·

当且仅当a1a2···=an或b1b2···=bn时，反序和等于同序和.（要点：理解其思想，记住其形式）2.教学排序不等式的应用：

① 出示例1：设a1,a2,,an是n个互不相同的正整数，求证：

1

1213

1na1

a22



a3

3

ann

.分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？证明过程：

设b1,b2,,bn是a1,a2,,an的一个排列，且b1b2bn，则b11,b22,,bnn.又1a1





1n

22，由排序不等式，得

b22

a22



a33



ann

b1



b33



bnn

…

小结：分析目标，构造有序排列.② 练习：

已知a,b,c为正数，求证：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).解答要点：由对称性，假设abc，则a2b2c2，于是 a2ab2bc2ca2cb2ac2b，a2ab2bc2ca2bb2cc2a，两式相加即得.3.小结：排序不等式的基本形式.三、巩固练习：

1.练习：教材P451题 2.作业：教材P453、4题