专题4平面向量与不等式结合_平面向量与不等式

专题4平面向量与不等式结合由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“平面向量与不等式”。

专题4 平面向量与不等式结合考点动向：向量与不等式的交汇是当今高考命题的一个热点.自从新教材实施以来，在高考中，不时考查平面向量与不等式有关知识的结合。这些题实际上是以向量为载体考查不等式的知识，解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为不等式的问题，转化时不要把向量与实数搞混淆，一般来说向量与不等式结合的题目难度不大。

向量与不等式结合，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查。这类题目常常包括向量与不等式的性质、均值不等式、解不等式、求值包括（求最大值、最小值）的交汇等几个方面.可以预测到，明年仍至今后的高考中，还会继续出现向量与不等式结合的题目。

方法范例

例

1、（2005年，上海卷）已知函数f(x)kxb的图象与x,y轴分别相交于点A、B，函数g(x)x2x6。22（,分别是与x,y轴正半轴同方向的单位向量）

（1）求k,b的值；（2）当x满足f(x)g(x)时，求函数g(x)1的最小值。f(x)

[解析]（1）通过交点坐标求出向量的坐标表示，列方程组，求k,b的值；（2）先由f(x)g(x), 得 2x4,再对1g(x)15，然后利用进行化简，得x2x2f(x)

不等式ab2ab求函数的最值.bbb2[答案]（1）由已知得A(,0),B(0,b),则{,b}，于是 k,kkb2k1.b

2（2）由f(x)g(x),得x2x2x6, 即(x2)(x4)0,得2x4,g(x)1g(x)1x2x513，x25, 由于x20,则f(x)f(x)x2x2

其中等号当且仅当x+2=1，即x=－1时成立，∴g(x)1时的最小值是－3.f(x)

例

2、（2005年·黄岗模拟）已知二次函数f(x)对任意xR，都有f(1x)f(1x)成立，设向量a(sinx,2)，b(2sinx,)，c(cos2x,1)，d(1,2)，当x[0,]时，求不等式f(ab)f(cd)的解集.[解析] 二次函数图象开口方向不确定，要分类讨论.由f(1x)f(1x)，知二次函1

2数f(x)关于直线x＝1对称.先求出向量数量积ab与cd，[答案]二次函数图象开口方向不确定，要分类讨论.由f(1x)f(1x)，知二次函数

f(x)关于直线x＝1对称.当二次项系数A＞0时，f(x)在[1,)上递增，当A＜0时，f(x)在[1,)上递减.因为ab(sinx,2)(2sinx,)＝2sin2x1≥1，cd(cos2x,1)(1,2)＝

cos2x2≥1，所以

当A＞0时，由f(ab)f(cd)，得2sinx1＞cos2x2，即cos2x0，又因为0≤x≤，所以



3＜x＜； 4

4当A＜0时，由f(ab)f(cd)，得2sinx1＜cos2x2，即cos2x0，又因为0≤x≤，所以0≤x＜

3

或＜x≤.44

3＜x＜｝；443

当二次函数f(x)二次项系数A＜0时，不等式的解集｛x∣0≤x＜或＜x≤｝.44



例

3、（2005年，浙江卷）已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－

综上所述，当二次函数f(x)二次项系数A＞0时，不等式的解集｛x∣



e|，则（）.(A)a⊥e，(B)a⊥(a－e)，(C)e⊥(a－e)，(D)(a＋e)⊥(a－e).

[解析] 对|a－te|≥|a－e|进行平方，化成关于t的二次不等式，利用二次函数性质，

得0恒成立，从而得ac1.

[答案]解：对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，故两边平方得

222a2tacta2ac1,

即：t2tac2tac10.又上式对任意t∈R，恒成立，即有：0恒成立.2

2即=4（ac）（42ac1）（4ac1）0.

故当ac1时，上式成立，本题应选（C）.[规律小结]

（1）平面向量与不等式结合的问题，经常以向量为载体考查不等式的知识，解题的关键是利用向量的知识将问题转化为不等式的问题：解不等式，求最大值（最小值），转化时不要把向量与实数搞混淆。

（2）向量与不等式的结合，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，这类问题的解决思路通常是将向量的数量积的运算与模用坐标运算后，转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式求解，基中涉及到的有关向量的知识有：①向量的坐标表示及加法、减法、数乘向量；②向量的数量积；③向量平行、垂直

的充要条件；④向量的模、夹角；⑤abab；若a(x1,y1),b (x2,y2)，有

(x1x2y1y2)2(x12x22)(y12y22)；⑥向量不等式：aabab|，

||a||b|||ab||a||b|.（3）可能涉及不等式的内容有：

①解分式不等式fxaa0的一般解题思路：移项通分，分子分母分解因式，x的gx系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回.②含有两个绝对值的不等式：一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化

③解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集.④利用重要不等式ab2ab 以及变式ab()等求函数的最值时，务必注

意a，bR（或a，b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a＋b其中之一应是定值(一正二定三等).(根据目标不等式左右的运算结构选22

2用)a、b、cR，abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）



⑥比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法.⑦含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；

a、b异号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.⑧不等式的恒成立,能成立等问题

1).恒成立问题：若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上

fxminA；若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB.2).能成立问题：若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,即fxA在区间

D上能成立 ,则等价于在区间D上fxmaxA；若在区间D上存在实数x使不等式

fxB成立,即fxB在区间D上能成立 ,则等价于在区间D上的fxminB.考点误区分析：



（1）对于||a||b|||ab||a||b|，要注意：

 b同向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|； ①a、 b反向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|； ②a、

b不共线||a||b|||ab||a||b|.(这些和实数集中类似)③a、（2）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.（3）有些取值范围、最值问题，虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。考生经常没想到而陷入困境.（4）注意对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径，“配方、函数单调性等”对放缩的影响.同步训练：

x2y

21的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当

1、（2000年，全国卷）椭圆9

4∠F1P F2为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。

2、（2005年，江苏卷）在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则



OA（OBOC）的最小值是.3、已知向量a＝（2，2），向量b与a的夹角为，且ab＝－2.osA，2cos2（1）求向量b；（2）若t＝（1，0）且bt，c＝（c

C），其中A、C是ABC

2的内角，若三角形的三个内角依次成等差数列，试求bc的取值范围.224、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)+(y-4)=4上的一动点，求PAPB的2

2最大值和最小值.

5、若a(cos,sin),b(cos,sin)，且k(k0,kR)

（1）试用k表示；



（2）求的最小值，并求出此时a与b的夹角的大小.[参考答案]

1、[解析]解决与角有关的一类问题，总可以从平面向量数量积入手，通过坐标运算列出不等式。F1（－,0）F2（,0）,设P（3cos,2sin），F1PF2为钝角



2－5＋∴

PF =9cosPF（3cos,2sin)3cos,2sin)12

4sin=5 cos－1

5cos∴点P横坐标的取值范围是5

5（

335,）

2图

[答案]（

353）,55



2、[解析]如图设|OA|x,则|OM|2x，（0x2）M为BC的中点，OBOC2OM，OA（OBOC）OA2OM2（x2x）cos180

22x24x（2x1）2（0x2）, 当x1时，取最小值2.[答案]-2.3、[解析]（1）设b＝（x,y），由ab＝－2，得2x2y＝－2，即xy＝－1① 因为向量b与a的夹角为，a＝2222＝22，所以b＝

2ab

＝＝1，因此x2y2＝1.② 2acos22

42

x1,x0,或.所以b＝（－1，0）或b＝（0，－1）.y1y0

联立①、②，解得

（2）根据题意，得B＝

2，A+C＝，由于t＝（1，0）且bt，故b＝（0，－1），3

2b+c＝（cosA，cosC），bc＝cosA+cosC

＝1+

1112

(cos2Acos2C)+1+cos2Acos2A＝1+cos(2A)，22323

因为0＜A＜

25

1，所以＜2A+＜，－1≤cos(2A)＜，333233

.,因此，bc,，bc2422

[答案]（1）b＝（－1，0）或b＝（0，－1）；

15

25

25 ,（2）

22



4、[分析]利用向量把问题转化为求向量OP的最

值。设已知圆的圆心为C，由已知可得

：



OA{1,0},OB{1,0}，OAOB0, OAOB1，由中点公式得222PAPB2PO，所以PAPB(PAPB)2PAPB

2 =(2PO)2(OAOP)(OBOP)

222

=4PO2OAOB2OP2OP(OAOB)=2OP2，又因为OC{3,4} 点P

在圆(x-3)+(y-4)=4上, 所以OC5,CP2,且OPOCCP，所以



OCCPOPOCCPOCCP，即3OP7

2222

2故20PAPB2OP2100，所以PAPB的最大值为100，最小值为20.[答案] 最大值为100，最小值为20.

5、[解析]（1）∵a(cos,sin),b(cos,sin)，∴1，22

又∵k(kab)3(akb)

整理，得

(k)(k0).4k

11111

(k)(k0)，∴(k)，取“=”当且仅当k=14k4k211，∴cos22

（2）由（1）知

时，当k=1时，

1

∵又0，∴，因此当且仅当k=1时，取最小值，此时，a与b的夹

角为

 3

11（2）.(k)(k0)；4k3

[答案]（1）