应用切比雪夫_切比雪夫大数定律应用

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应用切比雪夫不等式解题

切比雪夫不等式是解决不等式问题的强力武器之一.本文对该不等式及其应用进行简单的介绍.一、切比雪夫不等式及其推论

1aibi n②若a1a2an,b1b2bn.则有aibiaibi（切比雪夫不等式）n①若a1a2an,b1b2bn.则有aibi

常见的方法是运用排序不等式，但最简单的证法是通过恒等变形.证明1：①式左边为顺序和，记为S，则

Sa1b1a2b2anbn,Sa1b2a2b3anb1,Sa1b3a2b4anb2,,Sa1bna2b1anbn1.将上面n个式子相加，并按列求和即得结论.②证明同上（左边反序和不等号反向即可）.证明2：

推论1设xiR(i1,2,,n)，实数p,q均不为零.则

⑴当p,q同号时，x

i

1nnpqi1npnqxixi ni1i11npnqxixi.ni1i1⑵当p,q异号时，xi1pqi

该推论直接应用切比雪夫不等式即证.推论2设xiR(i1,2,,n)，ns则x1,rs0.xxii.iri1i1i1nnn1nnn1nrsns1rsn证明：事实上，xixixin(xi)xixi ni1ni1i1i1i1i1r

推论3设a1,a2,,an,b1,b2,,bnR且a1a2an,b1b2bn 或a1a2an,b1b2bn，miR(i1,2,,n)

则mmabmamb iiiiiiii

i1i1i1i1nnnn

1nn

证明：事实上，mimiaibimiaimibimimj(aiaj)(bibj)0.2i1j1i1i1i1i1

推论3是切比雪夫不等式的加权形式.显然，当m1m2mn时，就是切比雪夫不等式.nnnn

注意：切比雪夫与推论3等号成立的条件均为a1a2an,b1b2bn中至少一组成立.二、切比雪夫不等式的应用

1、构造两组数证明不等式.此类问题最关键、也是最难的步骤就是构造，选择两组数时往往需要很强的技巧.例

1、已知0abcde,例

2、设xiR(i1,2,,n)，n

n

(n1)i

1adcdcbbeea.求证：.a1

5x

i1

n

i

1

求证：

i1

例

3、设xiR(i1,2,,n)，k1.n

1n1nxik

1求证：（2006，女子数学奥林匹克）xik1xx1xi1i1ii1ii1i

n2、去分母.能用切比雪夫不等式去分母的分式不等式，往往当变量排序后，分式的值也可以排序.一般的，当分母的值与分式的值都能排序时，可考虑用这种方法.ak

3（第四届中国东南）例

4、设a,b,c0,abc1.求证：对整数k(k2),

bc

2例

5、设a,b,c0,abc1.求证：



1bca

1a



（2008，塞尔维亚）

31例

6、a,b,c0，ab11.求证：abcabbcca（2007，罗马尼亚）

123、极值问题中的化简作用.在多元极值问题中，恰当地运用切比雪夫不等式可以将代数式简化，有助于问题的解决.例

7、给定实数c(,1).求最小的常数M，使得対任意的整数n2及实数

nnm

1n

只要满足kakcak，总有akMak，其中，0a1a2an，mcn

nk1k1k1k

1为不超过实数cn的最大整数.（2002，中国数学奥林匹克）.例

8、给定正整数r,s,t，满足1rst，对满足条件

xjxj

11

st

(j1,2,,n)的所jt

j(j1)(js1)x

有正实数x1,x2,,xn，求M

n

j

(jr)(js1)x

j1

j1n的最小值.j

练习题

x331、设x,y,zR,xyz1.求证：（第39届IMO预选题）

(1y)(1z)

4（提示：利用切比雪夫去分母，在用均值不等式及切比雪夫不等式推论）

2、设设为u，v，w正实数，满足条件uvwu1，试求u+v+w的最小值．（2004 第三届女子 五）

（提示：由切比雪夫不等式得

3、设a,b,c0,

u.

3aa,abc求证：ab2c3

11222cba23222c（提示：abcabcabc()由切比雪夫得 a3abc

1222cba12221111

2abc()abc(cab)()(abbcca)）3abc9abc94、设k是给定的非负整数.求证：对所有满足xyz1的正实数x,y,z，不等式

xk

21xk1ykzk7成立，并给出等号成立的条件.（2007塞尔维亚数学奥林匹克）

（提示：当k0时易证.当k1时，不妨设xyz，则不难得到

xk2yk2zk2k1kk1k

k1kkkxyzyzxzxyk，xk1ykzkyk1zkxkzk1xkyk由切比雪夫及其推论可证）

5、设x1,x2,,xn是n(n2,nN)个非负实数，且求x14x2nxn的最大值.（提示：设Si

x

i1

n

i

n,ixi2n2

i1

n

x

ji

n

j

.则x14x2nxnS13S2(2n1)Sn由切比雪夫得

(n21)(S2Sn).所以，最大值为n22 n1

n2n2,x2x3xn10,xn当x1n时，取得等号）n1n13S2(2n1)Sn

（补）在锐角三角形中，证明：

sinAsin2A