不等式的概念和性质_不等式的概念与性质

2020-02-27 其他范文下载本文

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不等式的概念和性质

1、实数的大小比较法则：

设a，b∈R，则a>b；a＝b；a

实数的大小比较法则与实数运算的符号法则一起构成了证明其它不等式性质的基础.2、不等式的5个性质定理及其3条推论

定理1（对称性）a>b 

定理2（同向传递性）a>b，b>c

定理3a>ba＋c > b＋c推论a>b，c>d

定理4a>b，c>0a>b，c

推论1(非负数同向相乘法)a>b≥0，c>d≥0

推论2a>b＞0 anbn(nN且n>1)

定理5a>b＞0(nN且n>1)

例1.（2010 黄冈模拟）设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小.训练1：不等式log2x+3x2＜1的解集是____________.例2.设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小.例3.函数f(x)＝ax2＋bx满足：1≤f(1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(2)的取值范围．

训练3：若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是.例4.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，当p、q满足p＋q＝1时，试证明：pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)对于任意实数x、y都成立的充要条件是o≤p≤1.变式训练4：已知a＞b＞c，a＋b＋c＝0，方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根为x1、x2．

(1)证明：－＜12b22222＜1；(2)若x1＋x1x2＋x22＝1，求x1－x1x2＋x2；(3)求| x1－x2|．a

算术平均数与几何平均数

1．a>0，b>0时，称为a，b的算术平均数；称为a，b的几何平均数．

2．定理1如果a、bR，那么a2＋b22ab（当且仅当取“＝”号）

3．定理2如果a、bR，那么ab≥（当且仅当a＝b时取“＝”号）即两个数的算

2术平均数不小于它们的几何平均数．

4．已知x、yR，x＋y＝P，xy＝S.有下列命题：

(1)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值．

(2)如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值．

211ab≤ab≤a2b2abab2≤(当且仅当a＝b时取“＝”号)．说明：题中的、ab、、11222ab

a2b2分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数．

222abab例11）设a,bR，已知命题p:ab；命题q:，则p是q成 222

立的A．必要不充分条件

C．充分必要条件B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

（2）若a,b,c为△ABC的三条边，且Sa2b2c2,pabbcac，则（）

A．S2pB． pS2pC．SpD．pS2p

（3）设x > 0, y > 0,axyxy, b，a 与b的大小关系（）1xy1x1y

A．a >bB．a

（4）b克盐水中，有a克盐（ba0），若再添加m克盐（m>0）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式.例2.已知a，b，x，y∈R+（a，b为常数），a

xb1，求x＋y的最小值.y

ab1，若 x＋y的最小值xy训练2：已知a，b，x，y∈R+（a，b为常数），a＋b＝10，为18，求a，b的值．

例3.已知a, b都是正数，并且a  b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

变式训练3：比较下列两个数的大小：（1）21与23；（2）23；

（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明

例4.甲、乙两地相距S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c（千米

/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v

（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b；固定部分为a元．

(1)试将全程运输成本Y(元)表示成速度V(千米/小时)的函数.(2)为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？

变式训练4：为了通过计算机进行较大规模的计算，人们目前普遍采用下列两种方法：

第一种传统方法是建造一台超级计算机．此种方法在过去曾被普遍采用．但是人们逐渐发现

建造单独的超级计算机并不合算，因为它的运算能力和成本的平方根成正比．

另一种比较新的技术是建造分布式计算机系统．它是通过大量使用低性能计算机(也叫工作

站)组成一个计算网络．这样的网络具有惊人的计算能力，因为整个网络的计算能力是各个

工作站的效能之和．

假设计算机的计算能力的单位是MIPS(即每秒执行百万条指令的次数)，一台运算能力为

6000MIPS的传统巨型机的成本为100万元；而在分布式系统中，每个工作站的运算能力为

300MIPS，其价格仅为5万元．需要说明的是，建造分布式计算系统需要较高的技术水平，初期的科技研发及网络建设费用约为600万元．

请问：在投入费用为多少的时候，建造新型的分布式计算系统更合算？

不等式证明

（一）1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．

ab0ab

(1) ab0ab ab0ab

它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等．

(2)作商比较法，它的依据是：若a>0，b>0，则

a1abba1ab ba1abb

基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．

2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．

3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立．

例1.已知a0,b0，求证：a

bb

aa

训练1：已知a、b、x、y∈R+且xy11＞，x＞y.求证：＞． abxayb

例2.已知a、b∈R+，求证：(ab)(ab1)22(abba)

训练2：已知a、b、cR，求证：a2b2c24ab3b2c

例3.已知△ABC的外接圆半径R＝1，SABC

sabc，t1，a、b、c是三角形的三边，令4111．求证：ts abc

222变式训练3：若a,b,c为△ABC的三条边，且Sabc,pabbcac，则（）

A．S2pB． pS2pC．SpD．pS2p

1． a

x1． 2例4.设二次函数f(x)ax2bxc(a0)，方程f(x)x0的两个根x1、x2满足0x1x21)当x∈(0，x1)时，证明：x

训练4：设f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：(1)a＞0且-2＜a＜-1；(2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.b

不等式证明

（二）证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等．

反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法．

换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法．

放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法．

判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立．例1.已知f(x)＝x2＋px＋q，(1)求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；

(2)求证：｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于．

训练1：设a、b、cR，那么三个数a111、b、c（）bca1

2A．都不大于2B．都不小于2

C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2

解:D

例2.（1）已知x2＋y2＝1，求证:a2yaxa2.（2）已知a、b∈R，且a2＋b2≤1，求证:a22abb22.训练2：设实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，当x＋y＋c≥0时，c的取值范围是（）)A.[21，)D.(21] B.(21] C.[1，解:A

例3.若nN，且n2，求证：

1211111 n123n1，则f(n)，g(n)，(n)的大小顺2n训练3：若f(n)＝n21－n，g(n)＝n－n21，(n)＝

序为____________．

解:g(n)>φ(n)>f(n)

1x2x13．例4.证明：22x1

2训练4：设二次函数f(x)ax2bxc(a、b、cR且a0)，若函数yf(x)的图象与直线yx和yx均无公共点．

(1)求证：4acb21

(2)求证：对于一切实数x恒有|ax2bxc|1 4|a|

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