应用均值不等式定理求最值常见错误剖析及解决策略_均值不等式应用解析版

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应用均值不等式定理求最值常见错误剖析及解决策略

作者：梁清芳

来源：《中学生导报·教学研究》2013年第03期

摘要：均值不等式定理：若a，b∈R*，则a+b2≥ab（当且仅当a=b时取“=”）是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题，也是高考常考的一个重要知识点。由于学生没能正确理解均值不等式定理而导致错误，笔者认为有必要加以总结，并给出解决的策略。

关键词：均值不等式定理 常见错误 解决策略

事实上，上述的解法是错误的。但错在哪里？许多学生不能说出错误的原因。究其原因，是由于学生没能正确理解均值不等式定理而导致错误。均值不等式定理运用中的常见错误及其解决策略有以下四个方面：

一、忽略定理使用的前提条件导致错误，解决策略为“把负变量转化为正数”。

二、变量是正数，积不是定值而导致错误。解题策略为用凑项法，使其积为常数。综上所述，应用均值不等式求最值要注意：

一要“正”：各项或各因式必须为正数；

二需“定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

三能“等”：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。（作者单位：广西南宁市横县中学）