微积分学中的函数构造法在求解不等式问题的应用_构造法解函数不等式

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函数构造法在证明不等式方面的应用

杨利辉

(成都纺织高等专科学校人文社科与基础部，成都 611731)

作者：杨利辉（1970-），女，助教，主要从事大学数学教学及研究。

摘要：关于不等式的证明方法有很多种，而运用函数构造法证明不等式使得问题简单化，本文阐述了数学中构造法的含义及其应用所产生的影响，用实例介绍了函数构造方法的几种应用情形。关键词：函数构造法；不等式；证明

Abstract： There are various methods can be applied to prove the inequalities.Especially, the method of construction can make the problems of inequalitybe simplified.We first state the meaning of the method of construction which applies effectively to resolve the problems of inequality in advanced mathematics.Then, construction of function, graphic solution, inequality equation and so on will be introduced.And a soundly explanation of various method of construction will be given by illustration.Keywords：The method of structure；Inequality；Constructing function;continuous1、构造法及其意义

学习数学在于善于寻求解题方法，发现一条摆脱疑难、绕过障碍的途径，实现从已知到未知的转化，在解题过程中，由于某种需要，要把题设条件中的关系构造出来，将关系设想在某个模型之上得以实现，将已知条件经过适当的逻辑组合而创造出一种新的形式，从而使问题得到解决.构造法是根据问题的有关信息确定特定的映射关系构造出数学模型，将问题转化为对数学模型的数理机制的研究，从而达到解题的一种化归方法。化归是一种间接解决问题的方法，它在解决数学问题中的作用在于转化，就是把待解决或未解决的问题进行变形，分割，映射，或者简单化，或熟悉化，或具体化，直到归纳到一类已经能够解决或者比较容易解决的问题中去.运用构造法解题的巧妙之处在于不是直接去解问题A，而是构造一个与问题A有关 的辅助问题B，通过解答问题B 而达到解决问题A的目的.构造法是数学中最具有挑战 性的解题思路，它的合理使用使复杂问题简单化.特别是对于解决不等式问题，因为不 第1页

等式是两个数值或两个代数式或两个函数大小的比较，不等式的证明方法有很多种，而采取构造法证明不等式不仅可以提高解题速度，同时也拓宽了解题思维.构造法作为一种创造性的思维活动，对思维能力的培养和提高也有很大的益处，它作为一种重要的数学思想和常用数学方法，具有广泛的应用，在证明过程中，既能逢难化易，又能活跃思维，是培养创造性思维的一个极好的切入点.本文通过几个实例，阐述如何运用函数构造法来证明不等式的问题.2、几种常见的函数构造方法

在证明不等式时，先认真观察不等式的结构特征，或者作适当的变形后再观察，然后构造出一个与该不等式有关的辅助函数，利用辅助函数的有关性质去证明不等式，这种证明不等式的方法就叫做函数构造法。

2.1 利用函数的单调性构造辅助函数：

若fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且对于任何x∈(a,b)有fx0 则fx 在[a,b]上单调增加；若fx0，则fx在[a,b]上单调减小.例1已知m、n、都为正整数,且1mn，证明：(1m)n(1n)m.分析利用不等式左右两端形成一致构造函数，并结合单调性来解决问题.证设fxln1x(x2)，x

1xln(1x)

则fx，因为x2，2x

x1,ln(1x)lne1，所以1x

所以fx0，故f(x)在(2,+∞)时是减函数, 即ln(1m)ln(1n)，mn

所以ln(1m)nln(1n)m,故原不等式成立.例2设实数a,b,c，满足|a|1,|b|1,|c|1，求证：abc2abc.证构造函数faabc2abcbc1acb2，因为|b|1,|c|1,所以bc10，故f(a)为关于变数a的一次函数，且f(a)在（-1，1）上为单调函数，而f1bc1cb2b1c1，由|b|1,|c|1知f(1)0故f(a)为减函数，当1a1时，有f(a)f(1)0.从而题设条件下有abc2abc.2.2利用函数的局部保号性

例3已知|a|1,|b|1,|c|1,求证：abbcac1.证原不等式形为bcabc10，构造函数f(a)bcabc1，若bc0，不等式成立，若bc0，则fa是a的一次函数,又－1＜a＜1，而f1bcbc11b1c0，f1bcbc11b1c0,由单调函数的局部保号性有 fa0，从而得到abbcac1.2.3利用整函数多项式的性质

20062006

例

4是整数.分析:分子中两个幂底数的第二项与分母都相同，联想到函数值的求法。

证明：构造函数 fx1x

因fxfx，故f(x)是一个只含有 x 奇次项且不含常数项的整系数多项式函数，因此f(x)是一个只含有偶次项的整系数多项式函数，x20061x2006，又因为x

故原式是整数.2.4利用函数的凹凸性

设函数yfx在[a，b]上连续，若对[a，b]中任意两个值x1和x2（x1x2），恒有f(x1x2f(x1)f(x2))，则称yf(x)在[a，b]上是上凸的；若恒有2

2xxf(x1)f(x2)f(12)则称yf(x)在[a，b]上是上凹的.22

b]上是上凸的，若yf(x)在[a，则对该区间内任意n个自变量的值x1,x2,x3,,xn

有不等式

f(x1x2xnf(x1)f(x2)f(xn))成立 nn

而且仅当x1x2x3xn 时等号成立.例

5、在ABC中，求证：sinAsinBsinC

证明：设x1x2且x1、x2(0,)，令f(x)sinx，因为f(x1)f(x2)sinx1sinx2xxxxxxxxsin12cos12sin12f(12)，22222233.2所以ysinx在[0，]上是上凸的，因为A，B，C(0,)根据定理有

故sinAsinBsinC

3.2sinAsinBsinCABCsinsin，3333、小结

本文介绍了运用函数构造法证明不等式的一些方法。利用函数构造法证明不等式需要认真分析要证明的不等式所具有的特点，引用不同的构造法，然后运用其特性对不等式加以证明。

构造法在数学中的应用非常的广泛，运用构造法解决不等式问题培养了学生具有创

造性的数学能力和解决实际问题的能力，而创造性的能力的体现是创造性思维。

对于数学思维的培养及数学方法的培养也有一定的加强作用，有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，有利于激发学生学习兴趣，有利于提高学生学习的自觉性，把学生和教师从题海中解放出来，从而减轻教与学的过重负担。

参考文献

[1]陈传璋,朱学炎,金福临,欧阳光中.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1983.[2]李忠,周建莹.高等数学[M].北京:北京大学出版社，2002.[3] 陶兴模.中学数学问题研究与教学探讨[M].重庆:重庆出版社，2006.[4] 王仲春,李元中.数学思维与数学方法论[M].北京:高等教育出版社，1989.[5] 袁拥军.从一道竞赛题谈构造法解题[J].中等数学,2004（10）：20—22.