不等式知识点整理_不等式知识点归纳

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不等式知识点整理

一、不等关系：

1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

abab0；

abab0；

abab0.2．不等式的性质：

（1）abba（自反性）

（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（可加性）

（4）ab,c0acbc；

ab,c0acbc（可乘性）

（5）ab,cdacbd（同向加法）

（6）ab0,cd0acbd；（同向乘法）

（7）ab0,nN,n1anbn,a。（同向乘方）

3．常用的基本不等式和重要的不等式

（1）aR,a20,a0，当且仅当a0取“=”.（2）a,bR,则a2b22ab（当且仅当ab时取“=”）

（3）a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）a

b注：——集几何平均数.2a2b2ab2()（当且仅当ab时取“=”（4））22

a2b2c2abc2()（当且仅当abc时取“=”（5））3

3ab（6）(a2b2)(c2d2)(acbd)2（当且仅当时取“=”）（柯西不等式）cd4、最值定理：设x,y0,由xy

（1）如积xyP为定值，则当且仅当xy时x

y有最小值

S（2）如和xyS为定值，则当且仅当xy时xy有最大值()2.2即：积定和最小，和定积最大.注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5．含绝对值的不等式性质： ababab（注意等号成立的情况）.二、不等式的证明方法

1．比较法

（1）作差比较法：作差——变形（通分、因式分解等）——判别符号；

（2）作商比较法：作商——变形（化为幂的形式等）——与1比大小.（分母要为正的）

2．综合法——由因导果（由前面结论）

3．分析法——执果索因

注：（1）一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法；

（2）还可以用放缩法、换元法等综合证明不等式.三、解不等式

bb1．一元一次不等式 axb(a0)（1）a0,xx ；（2）a0,xx.aa

2．一元二次不等式 ax2bxc0,(a0)

（1）步骤：一看开口方向（a的符号），二看判别式 b24ac的符号，三看方程的根写解集.（2）重要结论：ax2bxc0(a0)解集为R（即ax2bxc0对xR恒成立），则a0,0.（注：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证a0）.3．绝对值不等式

a0a（1）零点分段讨论a aa0

（2）转化法：f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)

（3）数形结合4．高次不等式、分式不等式——序轴标根法 P(x)0或P(x)Q(x)0（移项，一边化为0，不要轻易去分步骤：①形式：Q(x)

母）；

②因式分解，化为积的形式（x系数符号>0——标准式）； ③序轴标根；

④写出解集.5．注意含参数的不等式的解的讨论.．．．．．．．．．．．．．．．．

四、一个有用的结论 关于函数yxp x

ppx

0时x

在(0、xx

[

上是减函数；在（、[)上是增函数.1．p0时，当x

0时x

（0，）2．p0时，在，上为增函数.0、