高三数学(理科)二轮复习不等式_高三数学理科二轮复习

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2014届高三数学第二轮复习

第3讲 不等式

一、本章知识结构：

实数的性质

二、高考要求

（1）理解不等式的性质及其证明。

（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。

（3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

（4）掌握某些简单不等式的解法。

（5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。

三、热点分析

1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点.4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。高考试题中有以下几个明显的特点：

（1）不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的试题题量很少。

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（2）选择题,填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和压轴题几乎都与不等式有关。

（3）不等式的证明考得比得频繁,所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视。

四、典型例题

不等式的解法

【例1】 解不等式：解：原不等式可化为：

a

1a x

2(a1)x(2a)

＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.x2

当a＞1时，原不等式与(x－

a2a2a2)(x－2)＞0同解.若≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若a1a1a

1a2)∪(2，+∞).a1

＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原不等式的解为(－∞，当a＜1时，若a＜0，解集为（a2a2，2)；若0＜a＜1，解集为(2，)a1a1

综上所述：当a＞1时解集为(－∞，a2a2)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)； a1a1

a2，2).a1

当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为（【例2】 设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值

范围.解：M［1，4］有n种情况：其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围.设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)

(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=

［1，4］(2)当Δ=0时，a=－1或2.当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］.(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，a30

f(1)0,且f(4)018187a0

那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4即，解得：2＜a＜，71a4,且0a0

a1或a2

∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，18).7

不等式的证明

【例1】 已知a2，求证：loga1alogaa1 解1：loga1alogaa1

1logaa1logaa11

． logaa1

logaa1logaa1因为a2，所以，logaa10,logaa10，所以，logaa1logaa1

logaa1logaa12



loga

a

1

loga

a

1

所以，loga1alogaa10，命题得证．

【例2】 已知a＞0，b＞0，且a+b=1。求证：(a+

2511)(b+)≥.ab

4证：(分析综合法)：欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤

或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤，从而得证.44

1213

1n

2n(n∈N)

*

【例3】 证明不等式1

证法一：(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+

121

1＜2k，则1



3

1k1

2k

1k1



2k(k1)1

k1



k(k1)1

k1

121

2k1,1∴当n=k+1时，不等式成立.综合(1)、(2)得：当n∈N*时，都有1+另从k到k+1时的证明还有下列证法：

＜2n.2(k1)12k(k1)k2(k1)(k1)(kk1)20,2k(k1)12(k1),k10,2k又如:2k12k

2k

1k

12k1.1k1

2k1.

1k1,2k1k



2k1k1

证法二：对任意k∈N*，都有：

2(kk1),kkk1

因此122(21)2(2)2(nn1)2n.2nk1



概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

不等式

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若ab,cd，则acbd（若ab,cd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若

ab0,cd0，则acbd（若ab0,0cd，则

ab

； ）

cd

nn

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若ab0，则a

b

4．若ab0，ab，则

1；若ab0，ab，则。如 abab

（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若ab,则acbc；②若acbc,则ab；③若ab0,则aabb；④若ab0,则⑤若ab0,则

； ab

ba

；⑥若ab0,则ab； ab

ab11

⑦若cab0,则；⑧若ab,，则a0,b0。

cacbab

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知1xy1，1xy3，则3xy的取值范围是______（答：13xy7）；（3）已知abc，且abc0,则

1c的取值范围是______（答：2,）

2a

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

1t

1的大小 logat和loga

21t11t1

（答：当a1时，logatloga（t1时取等号）；当0a1时，logatloga（t1

2222

（1）设a0且a1,t0，比较时取等号））；

1a24a2

（2）设a2，pa，q2，试比较p,q的大小（答：pq）；

a2

（3）比较1+logx3与2logx2(x0且x1)的大小

4（答：当0x1或x时，1+logx3＞2logx2；当1x时，1+logx3＜2logx2；当x

3时，1+logx3＝2logx2）

三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17

字方针。如

（1）下列命题中正确的21

A、yx的最小值是2B、y的最小值是

2x4

4C、y23x(x

0)的最大值是2D、y23x(x

0)的最小值是2C）；

xx

xy

（2）若x2y1，则24的最小值是______

（答：；

1（3）正数x,y满足x2y1，则的最小值为______

（答：3；

xy

4.常用不等式有：（1

（2）(根据目标不等式左右的运算结构选用)；222

2a、b、cR，abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；（3）若ab0,m0，则

bbm

（糖水的浓度问题）。如 

aam

如果正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是_________（答：9,）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).11111112 nn1n(n1)nn(n1)n

1n

22222

2如（1）已知abc，求证：abbccaabbcca ；

222222

(2)已知a,b,cR，求证：abbccaabc(abc)；

xy11

（3）已知a,b,x,yR，且,xy，求证：； 

xaybab

abbcca

(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：lglglglgalgblgc；

22222222

2（5）已知a,b,cR，求证：abbccaabc(abc)；

常用的放缩技巧有：

*

(6)若n

N(n

1)

n；

|a||b||a||b|

； 

|ab||ab|

1（8）求证：12222。

23n

(7)已知|a||b|，求证：

六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因

式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如

（1）解不等式(x1)(x2)0。（答：{x|x1或x2}）；

（2）

不等式(x0的解集是____（答：{x|x3或x1}）；

（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)0的解集为{x|1x2}，g(x)0的解集为，则不等式f(x)g(x)0的解集为______（答：(,1)[2,)）；

（4）要使满足关于x的不等式2x9xa0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式

x24x30和x26x80中的一个，则实数a的取值范围是______.（答：[7,8

1)）8

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如

（1）解不等式

5x

； 1（答：(1,1)(2,3)）

x22x

3axb

0的解集为x

2（2）关于x的不等式axb0的解集为(1,)，则关于x的不等式____________（答：(,1)(2,)）.八．绝对值不等式的解法：

1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2

； x|2|x|（答：xR）

（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；如解不等式|x||x1|3（答：(,1)(2,)）（4）两边平方：如

若不等式|3x2||2xa|对xR恒成立，则实数a的取值范围为______。（答：}）

九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是„”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如

； 1，则a的取值范围是__________（答：a1或0a）

33ax21

（2）解不等式x(aR)（答：a0时，{x|x0}；a0时，{x|x或x0}；a0

ax1a

时，{x|x0}或x0}）

a

（1）若loga

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式axb0 的解集为(,1)，则不等式

x2

（－1,2））0的解集为__________（答：

axb

十一．含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|； a、b异号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.如设f(x)xx13，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思

想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题

若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA 若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB

如（1）设实数x,y满足x(y1)1，当xyc0时，c的取值范围是____

（答：1,）；

（2）不等式x4x3a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____（答：a1）；

2（3）若不等式2x1m(x1)对满足m2的所有m都成立，则x的取值范围（答：（

7131,））； 22

(1)n13n

（4）若不等式(1)a2对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_（答：[2,)）；

n2

（5）若不等式x2mx2m10对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围.（答：m）

2).能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上fxmaxA； 若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的fxminB.如

已知不等式x4x3a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____（答：a1）3).恰成立问题

若不等式fxA在区间D上恰成立, 则等价于不等式fxA的解集为D； 若不等式fxB在区间D上恰成立, 则等价于不等式fxB的解集为D.