构造函数法与放缩法_放缩法与数学归纳法

构造函数法与放缩法由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“放缩法与数学归纳法”。

构造函数法证明不等式

不等式证明是中学数学的重要内容之一．由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使其成为各种考试命题的热点问题，函数法证明不等式就是其常见题型．即有些不等式可以和函数建立直接联系，通过构造函数式，利用函数的有关特性，完成不等式的证明．

一、构造一元一次函数证明不等式

例1设0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，求证：x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)＜1．

证明：构造一次函数f(x)= x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)，整理，得

f(x)=(1－y－z)x＋(y＋z－yz)其中0＜x＜1，∵0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，∴－1＜1－y－z＜1．

⑴当0＜1－y－z＜1时，f(x)在(0，1)上是增函数，于是

f(x)＜f(1)=1－yz＜1；

⑵当－1＜1－y－z＜0时，f(x)在(0，1)上是减函数，于是

f(x)＜f(0)= y＋z－yz = 1－(1－y)(1－z)＜1；

⑶当1－y－z = 0，即y＋z = 1时，f(x)= y＋z－yz = 1－yz＜1．

综上，原不等式成立．

二、构造一元二次函数证明不等式

例3若 a、b、c∈R+，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ．

证明构造函数f(x)= x2－(b＋c)x＋b2＋c2－bc ．

因为 △=(b＋c)2－4(b2＋c2－bc)=－3(b－c)2≤0，又因为二次项的系数为正数，所以x2－(b＋c)x＋b2＋c2－bc≥0对任意实数恒成立．

三、构造单调函数证明不等式

例5已知 a＞0，b＞0，求证 ：

证明： 构造函数f(x)=x

1xa1ab1bxab1ab1＋＞ ． 当x＞0 时单调递增．，易证f(x)=1x= 1－1x

∵ a＋b＋ab＞a＋b＞0，∴ f(a＋b＋ab)＞f(a＋b)．

故 a

1a＋b

1b=ab2ab

(1a)(1b)＞abab

1abab)=f(a＋b＋ab)＞f(a＋b)=ab

1ab．

例谈“放缩法”证明不等式的基本策略

近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它

1可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例

1、已知an21(nN).求证：

n

*

n

2

3

a1a2



a2a3

...

anan

1(nN*).证明： 

akak1



2k12k11





12(2k11)





13.2k2k2



.k,k1,2,...,n, 232



a1a2



a2a3

...

anan1



n

1111n11n1(2...n)(1n), 23222232232、先放缩再求和（或先求和再放缩）例

2、函数f（x）=

4x14x，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

12n

1

2(nN*).证明：由f(n)=

4n1

4n

=1-

114

n

1

122112

n1

122

112

n

122n

得f（1）+f（2）+…+f（n）>1

n

14(1

1214

n1

222

1)n

(nN*).3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例

3、已知an=n，求证：∑ 证明：∑

k=

1nn

k=1ak

n

n

k

＜3．

ak∑

k=1

n

＜1＋∑

k=

2(k－1)k(k＋1)

＜１＋∑

k=2

n

2=1(k－1)(k＋

1)(k＋k－)k2

=1＋ ∑（k=2

n

－)

(k－1)(k＋1)

=1＋1＋

－

1＜2＋＜3．

(n＋1)24、放大或缩小“因式”；

例

4、已知数列{an}满足an1a,0a1

n

2,求证：(akak1)ak2

k

1n

132

.证明 0a1

n

12,an1an,a2a12

n

141,a3

116

.当k1时,0ak2a3

132.116,(akak1)ak2

k1

116

(akak1)

k1

(a1an1)

5、逐项放大或缩小 例

5、设an2

2334n(n1)求证：

n(n1)

2an

(n1)2

证明：∵∴ n

n(n1)

n2n

n(n1)

12n

1(n)2

n(n1)

2n12

∴ 123nan

13(2n1)

1n21n，∴

n(n1)2

an

(n1)26、固定一部分项，放缩另外的项； 例

6、求证：

2

122

1

132

1



4证明：

1n2



n(n1)n1



112



122



132



1n2

1

11115117

()().2223n1n42n47、利用基本不等式放缩

例

7、已知an5n

41对任何正整数m，n都成立.1，只要证

5amn1aman因为 amn5mn4，aman(5m4)(5n4)25mn20(mn)16，故只要证

5(5mn4)125mn20(mn)16 即只要证

20m20n37

因为aman5m5n85m5n8(15m15n29)20m20n37，以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方

法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.