一个分式型双向不等式定理的应用_一个不等式定理及应用

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一个分式型双向不等式定理的应用

阳凌云,张彩霞

(湖南工业大学 数学与计算机科学系，湖南 株洲 412007)

摘要: 本文应用一个分式型双向不等式定理,对国际数学竞赛和不同书刊中提及的有关不等式的证明、求解最值问题进行探讨,并对其部分问题进行了适当推广.关键词: 分式型不等式；应用；推广引言

《数学素质教育导论》一书中提出如下一般形式的分式型双向不等式定理(文[2]已给予了证明)：

对任意ai,bi＞0,i=1,2,„,n, 则

当0≤≤+1≤1时,有 [1]

nainai(1)1i1≤nni1bibii1

当1≤≤0或1≤1≤或≤0、≥0时，有 

ainai(2)1i1≥ni1binbii1

当==0或=0、=1或=

1、=0时，(1)、(2)式均取“=”;n

≠0,且=1时,当且仅当aikbi(k＞0),(1)、(2)式均取“=”;当≠0、≠0,且≠1时,当且仅当a1=a2an,b1=b2bn, 当≠0、(1)、(2)式均取“=”.本文旨在利用(1)、(2)式潜在的应用功能,探讨和解决国际数学竞赛和不同书刊中提到的有关不等式的证明及求解多元函数最值问题,使此类问题的研究更简捷、深刻.2(1)、(2)式的应用

作者简介：阳凌云(1947-)，男，湖南湘潭人，湖南工业大学数学与计算机科学系教授，主要从事函数论及数学教育理论研究；张彩霞(1982-)，女，湖南工业大学数学与应用数学本科专业2003级学生.为揭示(1)、(2)式的丰富内涵,充分挖掘其潜在的应用功能, 我们将对（1）、（2）式中的变元ai，bi作适当的代换，同时对其指数,作适当的变形，以提高解题技巧,拓宽命题范围.2.1应用(2)式探讨有关问题 2.1.1几个不等式求证问题的推广

问题1(第二届友谊杯国际数学竞赛题)已知 a,b,c＞ 0，求证

abca2b2c

2≥.2bccaab

问题2(第28届IMO预选题)设a,b,c是ABC的三边长, 2pabc,kN,求证

akbkck2

≥bccaab3

k2

pk1.

问题3(《数学通报》1993年第7期问题845)设x1,x2,„,xnR,xi2

1≥.x1x2xn1,求证 n11xi1i

n

现将上述三个问题推广统一成如下命题 命题1 设ai R,i=1,2,„,n.n



a

i1

n

i

s,kR且k≥1或k≤0,则有

aiksk1

≥(3)k2

san1ni1i

当且仅当a1a2an=

s

时,(3)式取“=”.n

证明 根据(2)式，易知

nain

s2121i12

=，ai≥n111ni1

n

当k≥1时，再应用(2)式，则有

n

aikk1nn

aiaii11(k1)1

=≥= nn

saasai1i1iii

aisai2

k1



i1

n

1k



sk1s2ai2

i1n

≥n

1k

sk1sk1

=，2k2sn1ns2

n

k

当k≤0时, 应用(2)式, 则有

naikn

aisk1n2kski11k1

≥n． nk2

nssn1ni1sai

sai

i1

根据(2)式等号成立的条件，易知： 当且仅当a1a2an=

s

时,(3)式取“=”.n

令(3)式中a1a,a2b,a3c,n3,s2p,即得问题1.令(3)式中a1a,a2b,a3c,n3,k2,即得问题2.令(3)式中aixi,k2,s1,即得问题3.注: 此命题包含了文[3]中的推广2；文[4]中的例6（例2的推广）；文[5]中的命题1、2、3、4 ；文[6]中的定理1；文[7]中的结论及文[8]中的命题F.2.1.2 几个求解最值问题中的应用与推广

问题4(1990年日本IMO代表队第一轮选拔赛题)设x,y,zR，且



149

x+y+z=1,求的最小值.xyz

问题5(《数学通报》2004年第7期问题1504)已知x,y,zR,且



x+y+z=1,求u

118的最小值.22

2xyz



问题6(《数学教学》2003年6月号问题)已知x,y,zR,x+2y+3z=1,求

16811的最小值.333x8y27z

现将上述三个问题推广统一成如下命题 命题2 设xi,ai,i，kR,i=1,2,„,n.且





i

1n

kii

xp,a

i1

n

1k1i

q，则有

aiqk1

≥k(4)k

xpi1ii

n

当且仅当

a

x

1k1i1kii

=

aq，i=1,2,„,n.即xip

q

1k1i1ki

p

时，(4)式取“=”.证明 由条件,应用(2)式,则有

n

ai

kk1

i1ixii1

ikxin

k1ai1

k1

nk1

ai1

kk11i1

≥n

k1

n1ikxii1

k

qk1

=k． p

根据(2)式等号成立的条件，易知：

当且仅当

a

x

1k1i1kii

=

q，i=1,2,„,n时，(4)式取“=”.p

上述三个问题,可 设(4)式中x1x,x2y,x3z,n3,p1.再令(4)式中 a1=1,a2=4,a3=9,i1,k=1,即得问题4, 当且仅当

1111236

，即x=,y=,z=时,取到最小值36；

632xyz1

再令(4)式中 a1=1,a2=1,a3=8,i1,k=2,即得问题5, 当且仅当

111112

4时，即x=,y=,z=时，取到最小值64；

244xyz1

再令(4)式中 a1=16,a2=81,a3=1,11,28,327,k=3,即得问题6, 当且仅当

1112316

时，即x=，y=，z=时，取到最小值1296.3418x2y3z1

注：此命题包含了文[9]中的例5的推广结论.2.2 应用(1)式探讨有关问题

问题7 若，0,

，kR且k－

2、0，则＝的充要条件是：

22

seck2tank2

＝1（5）－kk

csccot

证明当－2＜k＜0，即0＜

k

1＜1时，应用(1)式，则有

2tan1tantan1seck2

1+＝k+≤＝．（6）kkk

cotkcsc

cot221cot2212

k2

k

12

k12k12

当k－

2、0，即

k

10、１时，根据(1)式等号成立的条件可知： 2

tan2

当且仅当＝1，即＝时，（6）式取“＝”，即（5）式成立． 

2cot2

同理，当k2或k0时，应用(2)式及(2)式等号成立的条件可得到同样结论.参考文献：

[1] 阳凌云等著．数学素质教育导论[M]．湖南科学技术出版社，2005，227． [2] 阳凌云．两个分式型不等式的拓广与深化[J]．株洲工学院学报，2004，(2)． [3] 李再湘．柯西不等式的变形与应用[J]．数学通报，1992，(8)． [4] 刘文春．一个不等式及其应用[J]．数学通报，1999，(1)． [5] 王福楠．一组互相关联的不等式命题[J]．数学通报，1999，(8)． [6] 徐丹，杨露．一个不等式的再推广[J]．数学通报，2001，(10)． [7] 裘敬华．一个不等式的改进及证明[J]．数学通报，2003，(8)． [8] 文开庭．也谈一个数学命题的拓广[J]．数学通讯，2005，(5)．

[9] 许建东．第64届普特兰数学竞赛A2题的推广及应用[J]．数学通讯，2006，(1)．

Application ofA Fractional Bi-directional Inequality Theorem

YANG Ling-yun ,ZHANG Cai-xia

(Department of Mathematics & Computer Science, Hunan University of Technology Zhuzhou Hunan 412007,China)

Abstract: This paper applies a fractional bi-directional inequality theorem, carries on the

discuion on inequality proof mentioned in some international mathematics competitions, some books and periodicals.It also probes into a few maximum and minimum problems and inequality proof which is concerned with the triangle's rim and angle, and makes suitable popularization about some of the problems.Key word: fractional inequality；application；popularization