不等式知识归类_不等式知识归纳

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高一数学必修五《不等式》知识归类

班级：学号：姓名： ”正确填写以下空白处）①a＞ba-b__ 0②a=bb-a__ 0③a

③(平移性)a＞ba+c___b+c ；④(伸缩性)abab

c0ac___bc；

c0ac____bc ；

⑤(乘方性)a＞b≥0an___bn（n∈N，n≥2）；⑥(开方性)a＞b≥0

a____（n≥2）

； ⑦(叠加性)a＞b，c＞da+c____b+d ；⑧(叠乘性)a＞b≥0，c＞d≥0ac____bd.⑨（倒数法则）ab01a11

1b;ab0ab

①a2b22aba，bR,（当且仅当ab时取“”号）.ab

a2b

22.②（基本不等式）

ab

a，bR,（当且仅当ab时取到等号）.变形公式：

abab2

ab 2

.用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③若ab0,则baba

ab2（当仅当a=b时取等号）若ab0,则ab

2（当仅当a=b时取等号）

④bbma

am1anbna

b

其中(ab0，m0，n0)规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑤当a0xax

2a2

xa或xa;xax2a2

axa.常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：

①舍去或加上一些项，如(a

1)

2

4(a12)2;②将分子或分母放大（缩小），如:

1k21k(k1),1k21

k(k

1),



kN*,k1)等.4求一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)解集的步骤为：

①化：化二次项的系数为正数.②判：判断对应方程的根.③求：求对应方程的根.④画：画出对应二次函数的图象.⑤解集：根据图象写出不等式的解集.5，结合原不等号方向，写出其解集.f(x)

6g(x)

0f(x)g(x)0f(x)

f(x)g(x)0

g(x)0g(x)0

（“或”时同理）

7解形如ax2

bxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴ 讨论a与0的大小；⑵ 讨论与0的大小；⑶ 讨论两根的大小。

8⑴ 不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

① 当a0时 b0,c0;② 当a0时

a0

0.⑵ 不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

① 当a0时b0,c0;② 当a0时a0



0.⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;f(x)a恒成立f(x)maxa;⑷f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)mina.9如图： 设z=2x+y,式中变量满足下列条件：（掌握概念）



x4y

33x5y25，z的最大 值和最小值为

x1其中,上述不等式组叫变量x、y的；

叫做目标函数；满足线性约束条件的解（x、y）叫做；由所有可行解组成的集合叫做；上图中，阴影部分表示的三角形区域即为；可行解叫做这个问题的。⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断方法： 法一：取点定域法：

由于直线AxByC0的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x0,y0)（如原点），由Ax0By0C的正负即可判断出AxByC0(或0)表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据AxByC0(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，AxByC0(或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域

⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数zAxBy(A,B为常数）的最值方法：法一：角点法：

如果目标函数zAxBy（x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值 法二：画——移——定——求：

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l0:AxBy0，平移直线l0（据可行域，将直线l0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(x,y)；第四步，将最优解(x,y)代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值.第二步中最优解的确定方法： 利用z的几何意义：y

ABxzz

B,B

为直线的纵截距.①若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；

②若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.【经典范例】

例1：解关于x的不等式：ax

2-(2+2a)x+4>0

【解】若a0,x|x2若a0,

x|

2ax2



若a1,x|x2 若0a1，

x|x22或x

a若a1,2

x|xa或x2

例2.某工厂生产Ａ，Ｂ两种产品，已知生产１千克Ａ产品要用煤９吨，电力４千瓦时，劳动力３个，创造利润７万元，生产１千克Ｂ产品要用煤４吨，电力５千瓦时，劳动力１０个，创造利润１２万元，在这种条件下，应该生产Ａ，Ｂ两种产品各多少千克，才能使所创造的总的经济价值最高？

答案：当x=20,y=24时，目标函数z=7x+12y取得最大值428万元。本题一定要注意书写过程规范！

例3：设aÎR，关于x的一元二次方程7x2-(a+13)x+a2

-a-2=0有两个实根x1,x2,且

0

【解】：设f(x)7x2(a13)xa2

a2

f(0)0

则

f(1)0解出2a1或3a4 

f(2)0例4．数列{x1n}由下列条件确定：x1=a>0,xn+1=2(xa

n+x)(nÎN

+)，n

当n³2时，求证：（１）xn³

（２）xn³xn+

1思路：（1）先说明xn0，然后用基本不等式证．（2）用作差比较法证．

例5.已知a>0,b>0，且a+b=1，求证：(a+

1a)2+(b+125b)2 2

证明：由(12

12)[(a

1)2(b1)2ab] [1(a1)1(b1)]211

ab＝(1ab)2

而(ab)(111ab)4得a1

b

4，代入上式变形即知原式成立．

【适应性练习】

1．已知a=3x2－x＋1和b=2x2＋x－1，请比较a，b大小.2．已知2

b的取值范围.3.求解下列各不等式的解集

（1）(x-6)(x+2)0（2）(-x+3)(x-3)

x5x20（4）x

5x

20(5)(2x-5)(x-3)(x-4)0(7)3x2+x-6≤0

（8）不等式组x210



x23x0的解集是___________.（9）不等式(x-a)(x-1)

a=1时时a

4.关于x的不等式ax2+bx+c

1}，则关于x的不等式ax2－bx+c>0的解集为.5.解关于x的不等式x2

xa(a1)0

6.关于x的不等式ax2(a1)xa10 对于xR恒成立，求a的取值范围．7.不等式

x1

x

2的解集是（）A.[1,0)B.[1,)C.(,1]D.(,1](0,)8.已知函数y=(a-2)x2+2(a-4)x-4的图像都在x轴上方，求实数a的取值范围。

9．若x0,，则x

x若x0,y0,xy10，则xy 若x0,则3x4x若x0,则3(x

4x)有最

若x0,则1

若x0,则x4，若x0,则2x9有最xxx

x

10．若ab1,ab10,则lgalgb的最___值是___；若ab2,则3a

3b

有最___值是___ 11．判断正误题：①x

1x2成立（）②若x2，则x1

x的最小值为2（）③若x0，则x2



1x的最小值为）④若x0，则x1

x的最大值为2（），则xx1x的最小值为3（）⑥ab(ab2⑤若x022ab2)2

成立（）

．以下四个论断：①ab；②sin2

x

4sin2x的最小值是4；③若a,b

R，则

ab

④若为锐角，则cos

cos

2；其中是错误的序号为________________。13．若x0，则(x

25x)若x0，则x99

x(xx)，14.x0

15.不等式x-2y+6＞0表示的区域在直线x-2y+6＝0的()

A.右上方

B.右下方

C.左上方

D.左下方

xy516.画出不等式组

0xy0表示的平面区域（用阴影部分表示）。



x317.已知点(3，1)和(-4，6)在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是()

A.a＜-1或a＞24B.a=7或a=24C.-7＜a＜24D.-24＜a＜7

x0,18.已知目标函数S = 2x + y，则函数S在条件

y1,下的最大值为．

2x2y10xy5019.不等式组

xy0所表示的平面区域的面积是



x320.已知x,y满足 

5x6y30x2⑴找出x,y均属于整数的可行解；



y1⑵Z＝x+3y的最大值；⑶若x,y均为整数，则Z=x+3y的最大值;(4)txy的的最大值是,最小值是.21.某工厂家具车间制造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成。已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时；漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆

工每天工作时间分别不得超过8小时和9小时，而工厂制造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B桌子各多少张，才能获最大利润？并求出此最大利润。

xy22设z=x-y，式中变量x、y满足4xy4，求的最大值和最小值。



2x3y80

23.不等式组(xy5)(xy)0

x3

表示的平面区域是()

0A.矩形

B.三角形

C.直角梯形

D.等腰梯形 24.已知x，yZ，则满足 x-y≥0

 x+y ≤5，的点（x，y）的个数为()

 y≥0

A.9B.10C.11D.12

x225.若实数x,y满足约束条件

y2，则目标函数u3x2y的最大值为（）



xy2A.4B.2C.2D.6

26.三角形三边所在直线方程分别为3x4y30,y3,12x5y330, 用不等式组表示三角形内部区域（包含边界）为.x0y27.(广东高考)如图，在约束条件

y0下，当3yx5时，xy2x4

目标函数z3x2y的最大值的变化范围是（）

A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]

答案：1.a>b2.5ab15,8ab2,1/5a/b5/33略4 略5略

6，a〈-1/37 A8略94，25，7，大，-1，-4，小

10．大，小，611． 错，错，错，对，对，对12．①②③13．-10，-6 14.D15.B16略17.C18.219.121

20.(1)（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2）（4，1）共六个

（2）12（3）11（4）

195;43

21.每天生产A型桌子2张，B型桌子3张，有最大利润13千元 22.在（1，0）处取最大值1，在（-1，2）处取最小值-3



y323.D24.D25.D26.

3x4y30

27.D



12x5y330