不等式解法(放缩法)_不等式的放缩法

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用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径

不等式的证明,尤其是使用放缩法证明不等式,很多学生觉得无从下手,老师也觉得教学效果不理想.这里仅就用放缩法证明数列不等式谈谈自己的看法,不妥之处请同行指教.根据建构主义的观点,学生在学习时可将知识分成若干模块,再对若干模块进行学习,经过同化和顺应,将知识变成自己的一部分.常见的放缩方法有:增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数,增大(减小)底数(指数),利用二项式定理,利用不等式的性质或重要不等式,利用函数的性质等.对于“和式”数列不等式,若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或甚难求和，则可考虑使用放缩法证明不等式.而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和、易求和的数列.下面根据实施的途径分为以下五类进行讨论:

途径1:放缩为

例1.求证：11类.等差等差1112 22223n

同类不等式还有：

11111⑴ 1333 23n8

⑵ 111171(n>1)32522n12622n1

⑶ 12

22332nn23(n>1)

途径2:放缩为等比类.例2.求证：1

211115

2212312n13

同类不等式还有：

⑴ 1111

2121214

232n15

⑵ 1

31352n14

3213313n13

途径4:增大（减小）分子（分母）或被开方数放缩类.例5.求证： nn12223n(n1)nn2

例6.求证：1

n1(1

11

31

51

2n1)11111

n(2462n)

同类不等式还有：

⑴ 2(n11)＜1+1

21

31

n＜2n

⑵ 1

21

n111

n22n1

途径6:利用均值不等式放缩类.例9.求证：（1+1

1）（1+1

3）（1+11

5）…（1+2n1）＞2n1

同类不等式还有:

⑴ 223n(n1)＜

⑵ 1111n23nn(n2)2

途径7:利用数列单调性放缩类.这是证明数列不等式的一大类方法,即构造一个新的数列,通过判断其单调性来证明不等式,很多有关数列的不等式都可以用此法进行证明.常见的构造方法是作差或作商.1111例10.求证：（1+）（1+）（1+）…（1+）＞2n1(前面例7之证明三)1352n1