三个数的均值不等式_三个数的基本不等式

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高二数学组编写人 郭 伟

平均值不等式导学案

2☆学习目标： 1.理解并掌握重要的基本不等式;

2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广;

3.一、课前准备（请在上课之前自主完成）

1．定理1如果a,bR, 那么ab2ab.当且仅当ab时, 等号成立.2.定理2(基本不等式)如果a,bR, 那么.2

2当且仅当时, 等号成立.利用基本不等式求最值的三个条件

推论10.两个正数的算术平均数, 几何平均数,平方平均数，从小到大的排列是:

☆课前热身：

(1)某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x的函数关系为y(x6)211(xN),则每辆客车营运多少年，其运 营的年平均利润最大（）

A．3B．4C．5D．6

(2)在算式“4130”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最步，则这两个数构成的数对（△，〇）应为.2y2(3)设xR且x1，求xy的最大值.2

二、新课导学 

2请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式：

如果a,bRab,那么2

当且仅当ab时, 等号成立.如果a,b,cR,那么.当且仅当时, 等号成立.☻建构新知：

 问题：已知a,b,cR, 求证：abc3abc.当且仅当abc时, 等号成立.33

3证明: ∵abc3abc

定理3如果a,b,cR,那么333abc当且仅当abc时, 等号成立.3

语言表述：3个数的推论 对于n个正数a1,a2,,an, 它们的即当且仅当abc时, 等号成立.语言表述：n个数的平均数不小于它们的平均数

☆案例学习：

例1已知x,y,zR, 求证：

xyzyzx(1)(xyz)327xyz;(2)()()9;(3)(xyz)(x2y2z2)9xyz． yzxxyz

例2用一块边长为a的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子．要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？

例3求函数y2x

解一:y2x223,(x0)的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法.x311122x2332x234.∴ymin34． xxxxx

33232解二:y2x22x2x当2x即x时, ymin2622． xxx222

正解:

例

4、已知0

三、当堂检测

1、已知a、b、c都是正数，求证：(a+b+c)(ab+bc+ca)≥9abc2、已知a、b、c都是正数，且abc=1.求证：a³+b³+c³≥

33、已知x>0，当x取什么值时？2x1的值最小？最小值是多少？ x

2四、课堂小结

2个数的均值不等式等号成立的条件

3个数的均值不等式等号成立的条件n个数的均值不等式等号成立的条件

五课后作业基本不等式2 姓名日期年月日

1(1)(1)的最小值是（）1.若a0,b0,ab1，则a2b

2A.6B.7C.8D.9

2.若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为（）

A．3-1B．

4+1C．2+2D． 23-23.若关于x的不等式(1k2)x≤k＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有（）

A.2∈M，0∈M； B.2M，0M； C.2∈M，0M； D.2M，0∈M

x22x24.若4x1，则的最小值为（）2x2

7C.1D.15.函数y2x24,(xR)的最小值为（）x

A.6B.7C.8D.9

xy 6.已知x3y20,则3271的最小值是（）A.B.122C.6D.7

7.求下列函数的最值

6y3x的最小值． 2 1、x0时,求x

2、设x[,27]，求ylog

3423、若0x1, 求yx(1x)的最大值． 19xlog3(3x)的最大值． 27

4、若ab0，求a

28某单位建造一间地面面积为12m的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长 度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶 1的最小值为.b(ab)和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．

（1）把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域；

（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？

9制作一个容积为16m的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）