选修45 平均值不等式(一)_高中数学平均值不等式

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课题：3.1平均值不等式

（一）高二数学 选修4-5课型：新授课编写：邵晶晶学校：正阳育才外国语学校

一．学习目标

（1）理解均值不等式及其证明，并能应用它解决相关问题。

（2）整理并建立不等式的知识链。

（3）通过运用均值不等式解决实际问题，提高用数学手段解决实际问题的能力与意识。学习重点：重要不等式及其均值不等式的证明及应用，注意均值不等式的使用条件。学习难点：重要不等式及其均值不等式的证明及应用。

二．课前自主预习

 均值定理：

定理1．如果a、b∈R，那么ab2ab（当且仅当a=b时等号成立）

对任意的两个正实数a，b，数ab

222叫做a，b的算数平均值数ab叫做a，b的几何平均值

均值定理也可表述为：

两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值这个不等式

定理2：如果a、b∈R+，那么ab

2ab（当且仅当a=b时等号成立）.在证明不等式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用，因此我们称它为基本

不等式. 常见不等式：

1.（1）若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则ab

时取“=”）

2.(1)若a,bR，则

时取“=”）

ab(3)若a,bR，则ab）(当且仅当ab时取“=”

2*222ab222（当且仅当ab*ab2则ab2ab（当且仅当abab(2)若a,bR，*

3.若x0，则x1

x）;若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”1

x2(当且仅

当x1时取“=”）

4.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）

b

a

5.若a,bR，则（ab2)

ab2

（当且仅当ab时取“=”）21b

ab2

ab2

6.重要不等式链：a,bR，则1

a

*

ab

 最值定理：（应用均值不等式求函数最值）（1）已知x,y都是正数，则：

如果积xy是定值p，那么当x=y时，x+y有最小值2p；

s

如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值。

即两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。

（2）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：各项均为正数;(一正)其和或积为常数;（二定）等号必须成立.（三相等）

（3）应用此公式求最值时，还应该注意配凑和一定或积一定，进而用公式求解。三．例题分析与课堂练习 题型一：配系数 例1.已知0x

32，求yx(32x)的最大值.（常规题型，在于如何配方）

解析：y2x3x2(x)

又0x

32，当x

34,ymax

练习1：已知0x1,求yx(33x)的最大值.题型二：分拆项 例2.已知x2，求y

x3x6x2

22的最小值.解析：y

(x2)x24

x2

(分子部分拆项)

yx21

x2（将分式拆成几项）

x2,y2(x2)

4x2

4x2

15

（利用均值定理2）

当且仅当x2时，解得x4或x0(舍去)

即x4时，ymin5

练习2：已知x

54,求y14x

154x的最小值

题型三：巧用“1”代换

例3.已知正数x,y满足2xy1,求

1x2y的最小值.解析：

1x



2y

1（1x



2y)(2xy)（1x



2y)4

yx



4xy

（1用2xy代替）

又x,y都是正数，

1x



2y

42

yx



4xy

8

（利用定理2）

当且仅当当x

yx



4xy1

2时，x,y都是正数,y

的最小值为82xy

练习3:已知x,y都是正数，xy2,求z

1x



4y的最小值.说明：一般地有,(axby)（cx



dy)(ac

bd),其中x,y,a,b,c,d都是正数.这里巧妙

地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解.题型四：.在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x单调性.例4.求函数y

ax的解析：y令t

x5x4



x41x4

1t

x4

1x4

2,但是“”取不到

x4,t2,则yt

在1,上单调递增52

当t2时，即x0时，ymin

练习4：当0x2时，求yx

3x的最小值

四．课堂小结

通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在证明应用时，应注明定理的适用条件，灵活运用每种题型的解题技巧。五．课后反思

（1）这节课你学到了什么？（2）如何正确解不等式？

（3）在运用均值定理时要注意哪些条件？两个定理有什么区别？ 六．课后巩固

优化探究P16-17 高效知能检测