高中数学放缩法公式_高中数学放缩法

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“放缩法”证明不等式的基本策略

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例

1、已知an2n1(nN*).求证：

k

n

2

3

a1a2



a2a3

...

anan1

(nN).*

证明： 

akak

1

212

k1

1





12(2

k1

1)





13.222

k

k



1211

.k,k1,2,...,n, 32



a1a2n2



a2a3

...

anan1



n2



1111n11n1(2...n)(1n), 322223223

n2

*



a1a2



a2a3

...

anan1

(nN).若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2k2，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）

例

2、函数f（x）=

4xx，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

2n

11

4nn



2(nN)

*

.证明：由f(n)=

14

=1-

114

n

1

122

122

112

n

122

n

得f（1）+f（2）+…+f（n）>1

n

14(1

1214

n1

22

1)n

n1

(nN)

*

.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、逐项放大或缩小

例

3、设an证明：∵∴ n

223

n

34

n

n(n1)(n1)

ann(n1)求证2

2(n

12)

n(n1)n(n1)

n(n1)

2n12

2n12，∴

n(n1)2

an

(n1)

∴ 123nan

本题利用n



13(2n1)

2n

1，对an中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。

4、固定一部分项，放缩另外的项；

例

4、求证：

1n

1

2

3

1n



4证明：



1n(n1)





1n1

1



1n

1n1

1n

1n





n

()().此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根

据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

5、函数放缩

ln

2例5.求证：



ln3

3

ln4

4

ln33

n

n

3

1x

n

5n66

ln2

(nN)

ln33

*

.

ln33

nn

解析:先构造函数有

lnxx1

lnxx

1,从而



ln44

31（n





n)

因为2





n

1111111111

1nnn

213 234567892

n1

3n193339

23n13n

66918275n

6

n

5n66

ln2

所以



ln33



ln44



ln33

n

n

31

n

5n6

3

6、裂项放缩

n

例6求证:k1k





53.1n



1n

4

1

12

4n12n12n1

n

解析:因为,所以

k

k1

112511

121

2n12n133357、均值不等式放缩

例7.设

Sn

2

23

k

n(n1).求证

n(n1)

2Sn

(n1)2

.解析: 此数列的通项为a

k

k(k1)

kk

1n(n1)2

k(k1),k1,2,,n.n

n

k

12，kSn

k1

(k

k1

12)，n(n1)

即

Sn



n2



(n1)2

.ab

ab2

注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式

n，若放成k(k1)k1

则得

Sn



k1

(k1)

(n1)(n3)



(n1)2，就放过“度”了！

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

n1

1an



n

1an

a1an

n



a1an

n

a1



其中，n2,3等的各式及其变式公式均可供选用。

8、二项放缩

n

(11)

n

CnCnCn2nCn0Cnn1

01n，2C

n

n

C

1n

C

2n



n

n22

n

n(n1)(n2)