高中数学基础不等式_高中数学基本不等式

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数学基础知识与典型例题

数学基础知识与典型例题(第六章不等式)答案

例1.C例2.B例3.6 例4.n3+1>n2+n

例5.提示:把“”、“2”看成一个整体.解:∵3=2(2)()

又∵2≤2(2)≤6,1≤()≤1 ∴1≤3≤7,∴3的取值范围是1,7 例6.A例7.A例8.B

例9.B例10.4例11.B

例12.D

例13.C

例14.D 例15.(1)

x2

1例16.解：原不等式等价于x

0,x21



x

1.当x>0时，上述不等式组变成x2情形1 1,1x2x1.解得：1x

情形2 当x

x21,

x2x1.解得1x

所以原不等式解集为{|1x12{x|1x1

2例17.解: 原不等式等价于x2x

3x2

ax

0.由于x2x30对xR恒成立，∴x2ax0,即x(xa)0当a>0时，{x|xa或x0}； 当a=0时，{x|xR且x0}； 当a

例18.证明:令y=2x22x1

x2x1，去分母，整理得(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0.⑴当y≠2时，要方程有实数解，须Δ=(2－y)2－4(y－2)(y+1)≥0得－2≤y≤2，又∵y≠2∴－2≤y

⑵当y=2时,代入(y－2)x2+(2－y)x

+y+1=0中,得

3=0，矛盾.∴综上所述,－2≤y

例19.综合法提示

2

ab)另外本题还可用几何法.证明:

先考虑a、b、c为正数的情况，这时可构造出图形：以a+b+c为边长画一个正方形，如图，则AP1

PP12

P2B ABabc).显然AP1PP1

2P2B

≥AB，abc).当a、b、c中有负数或零时，显然不等式成立.例20.答案见高中数学第二册(上)第27页例1

可用分析法,比较法,综合法,三角换元法以及向量法等证

例21.提示:利用aaac

abcab

abc

例22.高中数学第二册(上)第17页习题9 法一:构造函数法

证明：∵ f(x)= xm

x + m(m>0)= 1－x + m在(0, + )上单调递增，且在△ABC中有a + b > c>0，∴ f(a + b)>f(c)，即 a + bc

a + b + m> c + m。

又∵ a，b  R*，∴aamb

bm

 aba + ba + b + m + a + b + m = a + b + m，∴abc

ambm

c.m法二:分析法

证明:要证aambc

bm

cm，只要证a(b + m)(c + m)+ b(a + m)(c + m)－c(a + m)(b + m)>0，即abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，即abc + 2abm +(a + b－c)m2>0，由于a,b,c为△ABC的边长，m>0，故有a + b> c，即(a + b－c)m2>0。

所以abc + 2abm +(a + b－c)m2>0是成立的，abc

因此.

ambmcm例23.5400,例24.答案见2005-7-30高中数学第二册(上)第13页例4